Filtri del primo ordine
Introduzione
Un filtro del primo ordine è il mattone più semplice che esista: una
resistenza e un elemento reattivo, un solo polo, e tutto il comportamento
riassunto da un numero — la frequenza di taglio. Da lì discendono la
pendenza di 20 dB per decade, i −3 dB e i 45° di sfasamento nel punto
di taglio.
Queste calcolatrici servono a fare in fretta i conti che si rifanno ogni
volta al banco: dimensionare un filtro, scegliere il condensatore
commerciale più vicino, e sapere in anticipo che cosa aspettarsi dalla
misura a una certa frequenza.
| Circuito | Frequenza di taglio | Costante di tempo |
|---|---|---|
| RC | $$ f_c = \frac{1}{2\pi R C} $$ | $$ \tau = R C $$ |
| RL | $$ f_c = \frac{R}{2\pi L} $$ | $$ \tau = \frac{L}{R} $$ |
| Relazione generale | $$ f_c = \frac{1}{2\pi\tau} $$ | $$ \tau = \frac{1}{2\pi f_c} $$ |
Relazione fra le due, valida per entrambi:
$$ f_c = \frac{1}{2\pi\tau} $$Card 1 — RC: da R e C alla frequenza di taglio
Passa-basso e passa-alto RC condividono la stessa frequenza di taglio: cambia quale dei due componenti prende l’uscita, non dove cade il taglio. Questa card vale quindi per entrambi.
$$ f_c = \frac{1}{2\pi R C} \qquad \tau = R C $$
Card 2 — RC inverso: da fc e R al condensatore
Il caso di progetto: sai dove vuoi il taglio, hai scelto la resistenza, ti serve il condensatore. Il risultato teorico quasi mai coincide con un valore che esiste in commercio, quindi accanto trovi il valore E12 più vicino e — cosa che conta di più — la frequenza di taglio che ottieni davvero usandolo.
Su un taglio a 1 kHz con R = 10 kΩ servirebbero 15,9 nF: con i 15 nF reali il taglio si sposta a circa 1,06 kHz, cioè un 6% più in alto. Se quel 6% dà fastidio, la strada è ritoccare la resistenza, non cercare un condensatore che non esiste.
$$ C = \frac{1}{2\pi f_c R} $$
Card 3 — RL: da R e L alla frequenza di taglio
Stessa struttura del caso RC, ma la costante di tempo si costruisce al contrario: cresce con l’induttanza e cala con la resistenza. Un RL con R = 100 Ω e L = 10 mH ha la stessa τ di 100 µs di un RC con 1 kΩ e 100 nF, e quindi la stessa frequenza di taglio.
$$ f_c = \frac{R}{2\pi L} \qquad \tau = \frac{L}{R} $$
Card 4 — Risposta a una frequenza scelta
Data la coppia RC e una frequenza di prova, quanto attenua e quanto sfasa. È il conto che serve per confrontare una misura di Bode con la teoria: se a una decade sopra il taglio il passa-basso non dà −20 dB e −84°, qualcosa nella catena di misura non sta facendo quello che pensi.
Alla frequenza di taglio i valori sono quelli noti: −3,01 dB e 45° di sfasamento, in ritardo per il passa-basso e in anticipo per il passa-alto.
Passa-basso:
$$ \left|H(f)\right| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(f/f_c\right)^2}} \qquad \varphi = -\arctan\left(\frac{f}{f_c}\right) $$
Passa-alto:
$$ \left|H(f)\right| = \frac{f/f_c}{\sqrt{1 + \left(f/f_c\right)^2}} \qquad \varphi = \arctan\left(\frac{f_c}{f}\right) $$
Conversione in decibel:
$$ \left|H\right|_{\mathrm{dB}} = 20 \log_{10} \left|H(f)\right| $$
Valori di riferimento
| $$ f / f_c $$ | Passa-basso | Passa-alto |
|---|---|---|
| 0,1 | −0,04 dB · −5,7° | −20,04 dB · +84,3° |
| 1 | −3,01 dB · −45,0° | −3,01 dB · +45,0° |
| 10 | −20,04 dB · −84,3° | −0,04 dB · +5,7° |
Funzioni di trasferimento
| Filtro | Modulo | Fase |
|---|---|---|
| Passa-basso | $$ \left|H(f)\right| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(f/f_c\right)^2}} $$ | $$ \varphi = -\arctan\left(\frac{f}{f_c}\right) $$ |
| Passa-alto | $$ \left|H(f)\right| = \frac{f/f_c}{\sqrt{1 + \left(f/f_c\right)^2}} $$ | $$ \varphi = \arctan\left(\frac{f_c}{f}\right) $$ |
| In decibel | $$ \left|H\right|_{\mathrm{dB}} = 20 \log_{10} \left|H(f)\right| $$ | — |