Il modello di Koren per i triodi: teoria, parametri e limiti

Questo articolo non spiega come ricavare un modello SPICE da un datasheet: quello è il lavoro del fitting. Qui l’obiettivo è diverso e più teorico: capire che cosa rappresenta davvero il modello di Koren per un triodo, perché ha questa forma matematica, che cosa significano i suoi parametri e soprattutto dove smette di essere affidabile.

Uso il fitting della 6BX7-GT come caso di studio concreto. Il dataset contiene 440 punti digitalizzati dalle caratteristiche anodiche, distribuiti su 11 valori di tensione griglia-catodo da 0 a -50 V. Il modello triode.koren_v1 è stato ottimizzato globalmente con GX-TXT e poi trascritto in una netlist LTspice per verificare che la stessa equazione produca le stesse famiglie di curve anche nel simulatore circuitale.

La distinzione fondamentale da tenere presente per tutto l’articolo è questa:

valvola reale ≠ modello di Koren ≠ particolare set di parametri fitted. Il primo è un dispositivo fisico; il secondo è una famiglia di equazioni fenomenologiche; il terzo è una specifica approssimazione costruita a partire da un determinato insieme di dati.

1. Da una legge fisica semplice a un modello utile in SPICE

Un punto di partenza classico per descrivere il comportamento di un triodo è una legge di potenza del tipo

\[ I_a \propto \left(V_{gk}+\frac{V_{ak}}{\mu}\right)^{3/2} \]

valida quando la quantità tra parentesi è positiva; quando invece essa diventa negativa, il modello ideale assume corrente anodica nulla. L’esponente \(3/2\) richiama la legge di Child-Langmuir, che descrive la corrente limitata dalla carica spaziale tra due elettrodi. Nel triodo, tuttavia, la corrente non dipende soltanto dalla tensione anodica: anche la griglia esercita un forte controllo sul flusso di elettroni.

La quantità

\[ V_{\mathrm{eff}} = V_{gk}+\frac{V_{ak}}{\mu} \]

può quindi essere interpretata, in questo modello elementare, come una sorta di tensione efficace che determina la corrente anodica. La tensione di griglia \(V_{gk}\) compare direttamente, mentre la tensione anodo-catodo \(V_{ak}\) è divisa per il fattore di amplificazione \(\mu\). Questo rende evidente quanto la griglia sia più efficace dell’anodo nel controllare la corrente.

Per esempio, se un triodo ha \(\mu=10\), una variazione di \(1\,\mathrm{V}\) della tensione di griglia produce, in prima approssimazione, lo stesso cambiamento di \(V_{\mathrm{eff}}\) di una variazione di \(10\,\mathrm{V}\) della tensione anodica. Se la griglia viene resa più negativa di \(1\,\mathrm{V}\), per mantenere invariata la quantità \(V_{\mathrm{eff}}\), e quindi approssimativamente la stessa corrente anodica, occorre aumentare \(V_{ak}\) di circa \(10\,\mathrm{V}\):

\[ \Delta V_{ak} \simeq -\mu\,\Delta V_{gk} \]

È proprio questa relazione a dare un significato intuitivo al fattore di amplificazione \(\mu\): esso esprime quanto deve variare la tensione anodica per compensare una determinata variazione della tensione di griglia, mantenendo approssimativamente costante la corrente.

Questa legge semplice è molto utile per comprendere l’idea fisica di base del triodo, ma non è sufficientemente accurata per riprodurre l’intera famiglia delle caratteristiche anodiche di una valvola reale. Una singola legge a potenza non descrive bene tutte le regioni operative con la stessa precisione. In particolare, Koren evidenzia che i modelli derivati direttamente dalla legge a \(3/2\) possono mostrare errori significativi nella regione caratterizzata da elevata tensione anodica, griglia fortemente negativa e corrente anodica relativamente piccola. Questa regione non è necessariamente irrilevante: durante grandi escursioni di segnale, il punto di lavoro istantaneo può attraversarla.

Per ottenere una descrizione più realistica delle caratteristiche del triodo, Norman Koren introduce quindi un’equazione fenomenologica. Il termine è importante: il modello di Koren non pretende di derivare in modo completo il comportamento della valvola dalla geometria degli elettrodi, dalla distribuzione del campo elettrico e dalla dinamica della carica spaziale. Costruisce invece una funzione matematica con un numero limitato di parametri, scelta in modo da riprodurre con buona accuratezza la forma osservata delle famiglie di curve anodiche.

Questo approccio ha anche un vantaggio pratico fondamentale: l’equazione è continua e sufficientemente regolare da poter essere utilizzata efficacemente all’interno di un simulatore SPICE. Il modello diventa quindi un ponte tra le caratteristiche statiche della valvola reale, ottenute da misure o da curve di datasheet, e una rappresentazione matematica utilizzabile per simulare circuiti completi.

2. L’equazione del modello di Koren per il triodo

Nella formulazione usata qui si definisce prima una grandezza intermedia:

\[
E_1=\frac{V_{ak}}{K_p}
\ln\!\left[
1+\exp\!\left(
K_p\left(
\frac{1}{\mu}+\frac{V_{gk}}{\sqrt{K_{vb}+V_{ak}^{2}}}
\right)
\right)
\right].
\]

La corrente anodica viene poi espressa come

\[
I_a=\frac{E_1^{E_x}}{K_{g1}}\left[1+\operatorname{sgn}(E_1)\right].
\]

Nel ramo fisicamente interessante per il nostro fitting, \(V_{ak}\ge 0\) e quindi \(E_1\ge 0\): il termine \(1+\operatorname{sgn}(E_1)\) vale 2. La forma effettivamente implementata in GX-TXT restituisce direttamente la corrente in milliampere:

\[
I_a[\mathrm{mA}]=\frac{2000}{K_{g1}}E_1^{E_x}.
\]

Il fattore 2000 comprende il fattore 2 della regione a corrente positiva e la conversione da ampere a milliampere.

3. Perché compare la softplus

Il cuore dell’equazione è

\[
\ln(1+e^z),
\qquad
z=K_p\left(\frac{1}{\mu}+\frac{V_{gk}}{\sqrt{K_{vb}+V_{ak}^{2}}}\right).
\]

Questa funzione è oggi spesso chiamata softplus. Ha due comportamenti limite molto utili:

\[
z\gg 1 \quad\Rightarrow\quad \ln(1+e^z)\approx z,
\]

\[
z\ll -1 \quad\Rightarrow\quad \ln(1+e^z)\approx e^z.
\]

Quindi il modello non passa bruscamente da conduzione a corrente nulla. Nella regione di forte conduzione si comporta quasi come una legge di potenza sulla tensione efficace; avvicinandosi al cutoff la corrente decade invece in modo molto rapido ma regolare. Questa transizione dolce è uno dei motivi per cui il modello è adatto alla soluzione numerica di circuiti non lineari.

Nel codice GX-TXT la softplus non viene calcolata come log(1+exp(z)), perché per valori molto positivi di \(z\) l’esponenziale può andare in overflow. Si usa l’identità numericamente stabile

\[
S(z)=\max(z,0)+\ln\left(1+e^{-|z|}\right).
\]

Il sorgente reale del modello è quindi:

den = sqrt(max(Kvb + x_v.^2, eps));
z   = Kp .* (1 ./ mu + vg_v ./ den);
sp  = max(z,0) + log1p(exp(-abs(z)));
E1  = (x_v ./ Kp) .* sp;
E1  = max(E1,0);
y_mA = 2000 .* (E1 .^ Ex) ./ Kg1;

Il max(E1,0) rende esplicita un’altra scelta del modello: questa versione statica non tenta di descrivere corrente anodica inversa.

4. Due limiti matematici che aiutano a capire il modello

4.1 Regione di forte conduzione

Se \(V_{ak}^{2}\gg K_{vb}\), allora

\[
\sqrt{K_{vb}+V_{ak}^{2}}\approx V_{ak}
\]

per \(V_{ak}>0\). Se inoltre \(z\gg1\), la softplus può essere sostituita con \(z\) e si ottiene

\[
E_1\approx \frac{V_{ak}}{K_p}
K_p\left(\frac{1}{\mu}+\frac{V_{gk}}{V_{ak}}\right)
=\frac{V_{ak}}{\mu}+V_{gk}.
\]

La corrente diventa quindi, a meno del fattore di scala,

\[
I_a\propto\left(V_{gk}+\frac{V_{ak}}{\mu}\right)^{E_x}.
\]

Se \(E_x\) fosse esattamente 3/2 si ritroverebbe la classica dipendenza di tipo Langmuir-Child. Nel modello fitted, però, \(E_x\) è libero: nel caso 6BX7-GT vale circa 1,3035. È quindi meglio pensare al modello di Koren come a una generalizzazione regolabile della legge a 3/2, non come alla stessa legge con qualche costante aggiunta.

Da questo limite si vede anche una cosa importante: nella regione di conduzione forte \(K_p\) e \(K_{vb}\) tendono a scomparire dall’espressione dominante. Qui sono soprattutto \(\mu\), \(K_{g1}\) ed \(E_x\) a determinare la forma.

4.2 Regione vicina al cutoff

Quando \(z\ll-1\), invece,

\[
S(z)\approx e^z
\]

e quindi

\[
E_1\approx\frac{V_{ak}}{K_p}e^z.
\]

La corrente non viene troncata da una soglia ideale ma forma una coda molto piccola. In questa zona \(K_p\), \(K_{vb}\) e \(\mu\) diventano molto importanti perché determinano quanto rapidamente si attraversa la transizione. Questo spiega anche perché un errore assoluto molto piccolo possa diventare un errore relativo enorme vicino al cutoff.

5. Dove si trova, approssimativamente, la transizione

Il centro matematico della transizione della softplus è vicino a \(z=0\). Per una griglia negativa:

\[
\frac{1}{\mu}+\frac{V_{gk}}{\sqrt{K_{vb}+V_{ak}^{2}}}=0.
\]

Da cui

\[
V_{ak}^{2}\approx \mu^2V_{gk}^{2}-K_{vb}.
\]

Questa non è una vera tensione di cutoff della valvola: la softplus non crea una soglia netta. È però un modo utile per vedere come i parametri spostano la regione in cui la corrente passa da quasi nulla a valori significativi. In particolare, \(\mu\) e \(K_{vb}\) spostano la posizione della transizione, mentre \(K_p\) ne influenza fortemente la rapidità e la forma.

6. Significato dei cinque parametri

Parametro	Dove compare	Effetto principale	Interpretazione
\(\mu\)	\(1/\mu\)	Rapporto tra azione della griglia e dell’anodo	È vicino al concetto di fattore di amplificazione, soprattutto lontano dalle regioni di transizione.
\(K_p\)	Dentro e fuori la softplus	Forma della transizione e regione ad alta \(V_{ak}\), griglia negativa, bassa corrente	Parametro fenomenologico; non è una costante fisica isolata.
\(K_{vb}\)	\(\sqrt{K_{vb}+V_{ak}^2}\)	Curvatura del ginocchio e dipendenza a bassa \(V_{ak}\)	Per i triodi Koren lo collega al ginocchio, particolarmente visibile con griglia positiva.
\(K_{g1}\)	Denominatore della corrente	Scala verticale della corrente	Più cresce, più diminuisce la corrente calcolata.
\(E_x\)	Esponente di \(E_1\)	Curvatura globale delle caratteristiche	Generalizza l’esponente 3/2; nei modelli Koren è spesso circa 1,3–1,4.

Questa tabella è utile, ma non bisogna trasformarla in una lettura troppo semplice del tipo «un parametro = un fenomeno». I parametri interagiscono. Una variazione di \(E_x\), per esempio, può essere parzialmente compensata da \(K_{g1}\); \(K_p\), \(K_{vb}\) e \(\mu\) possono compensarsi nella regione di transizione. Il solver trova una combinazione che minimizza l’errore globale, non cinque misure indipendenti di cinque proprietà fisiche.

7. Il parametro \(\mu\) e il fattore di amplificazione locale non sono sempre la stessa cosa

Nel piccolo segnale, in un punto di lavoro specifico, si definiscono

\[
g_m=\frac{\partial I_a}{\partial V_{gk}},
\qquad
r_p=\left(\frac{\partial I_a}{\partial V_{ak}}\right)^{-1}
\]

e quindi

\[
\mu_{\mathrm{local}}=g_m r_p.
\]

Nella regione in cui il modello si riduce a una funzione della sola quantità \(V_{gk}+V_{ak}/\mu\), il valore locale tende al parametro \(\mu\). Ma vicino al ginocchio e alla transizione verso il cutoff intervengono la radice con \(K_{vb}\) e la softplus: il rapporto delle derivate può quindi differire dal parametro nominale.

Questo è un punto importante nello studio dei modelli: il nome di un parametro suggerisce un significato fisico, ma il comportamento locale del modello va ricavato dalle derivate della funzione completa.

8. Il modello è statico: cosa non descrive

L’equazione precedente restituisce una corrente anodica a partire da due tensioni istantanee. Da sola non contiene:

• capacità griglia-catodo, griglia-anodo e anodo-catodo;
• corrente di griglia quando \(V_{gk}\) diventa positiva;
• effetto Miller come fenomeno dinamico di circuito;
• rumore, microfonicità e rumore shot;
• temperatura del catodo e dinamica del riscaldamento;
• variazione dell’emissione con invecchiamento o tensione di filamento;
• dispersione tra esemplari e tra le due sezioni della stessa doppia triode;
• eventuali fenomeni di emissione secondaria o comportamento inverso dell’anodo.

Il subcircuito completo pubblicato da Koren aggiunge infatti elementi che non appartengono alla sola equazione statica: capacità interelettrodiche e un ramo per approssimare la corrente di griglia. La netlist di verifica usata qui, invece, è volutamente più semplice: contiene solo una sorgente comportamentale di corrente e serve esclusivamente a verificare la superficie statica \(I_a(V_{ak},V_{gk})\).

9. Un limite molto importante del nostro dataset: non contiene griglia positiva

Il fitting della 6BX7-GT copre \(V_{gk}\) da -50 V a 0 V. Questo è sufficiente per il normale funzionamento con griglia non positiva, ma ha una conseguenza teorica: alcuni aspetti del modello sono meno direttamente osservabili.

Koren osserva che, nei triodi, l’effetto di \(K_{vb}\) sul ginocchio è particolarmente evidente con tensione di griglia positiva. Nel nostro dataset quella regione non esiste. Per questo il valore fitted di \(K_{vb}\) non va interpretato come se fosse stato misurato direttamente da una caratteristica specifica: è il valore che, insieme agli altri quattro parametri, rende migliore il fit nel dominio disponibile.

Per lo stesso motivo questo specifico modello fitted non dovrebbe essere usato come modello validato della 6BX7-GT in funzionamento A2 o in altre condizioni con griglia positiva senza nuovi dati e senza un modello esplicito della corrente di griglia.

10. Dal modello teorico al fitting globale

Il fitting non modifica la forma dell’equazione: cerca soltanto il vettore

\[
\boldsymbol{\theta}=(\mu,K_p,K_{vb},K_{g1},E_x)
\]

che rende le correnti calcolate il più vicine possibile ai punti di riferimento. GX-TXT usa lsqnonlin e minimizza la somma dei quadrati dei residui:

\[
r_i=I_{a,\mathrm{fit},i}-I_{a,\mathrm{ref},i},
\]

\[
\min_{\boldsymbol{\theta}}\sum_i r_i^2.
\]

È un fit globale: tutte le 11 famiglie condividono gli stessi cinque parametri. Questo è essenziale perché l’obiettivo non è disegnare undici curve indipendenti, ma costruire una sola superficie bidimensionale capace di restituire \(I_a\) per ogni coppia \((V_{ak},V_{gk})\) nel dominio di interesse.

11. Identificabilità: un ottimo fit non rende automaticamente certi tutti i parametri

Quando più parametri possono produrre effetti simili, il problema presenta correlazioni. In pratica, due set di parametri diversi possono generare superfici quasi indistinguibili nel dominio dei dati. È il problema dell’identificabilità.

Per questo le molte cifre decimali fornite dal solver descrivono la precisione numerica della soluzione trovata, non una precisione fisica equivalente. Per attribuire una vera incertezza a ogni parametro servirebbero almeno analisi di sensibilità, matrice di covarianza, bootstrap o fitting ripetuti su dataset perturbati.

Nel nostro caso il problema è particolarmente evidente per i parametri che controllano regioni scarsamente coperte dai dati, come la griglia positiva. Il fit può essere eccellente nel dominio osservato senza rendere univoca la previsione fuori da quel dominio.

12. Il peso implicito del least squares

La funzione obiettivo usa residui assoluti in milliampere. Questo significa che un errore di 2 mA ha lo stesso peso quadratico sia quando la corrente vera è 2 mA sia quando è 60 mA:

\[
(2\ \mathrm{mA})^2=4\ \mathrm{mA}^2.
\]

Ma nel primo caso l’errore relativo è 100%, nel secondo solo 3,3%. Di conseguenza un fit least-squares assoluto tende naturalmente a privilegiare le zone dove le correnti sono maggiori e dove gli errori assoluti possono diventare più grandi.

Questo non rende il metodo sbagliato; significa semplicemente che bisogna sapere che cosa si sta ottimizzando. Se l’obiettivo fosse descrivere con uguale precisione percentuale anche le correnti molto piccole, servirebbe una pesatura diversa o una funzione obiettivo differente. GX-TXT mantiene il fit in mA e usa il grafico dei residui relativi come diagnostico separato.

13. Caso di studio: il fit della 6BX7-GT

Il fit attuale usa 440 punti. Il dominio dei dati è:

• \(V_{ak}\): circa 2,73–498,63 V, considerando l’intero dataset;
• \(V_{gk}\): da -50 V a 0 V;
• \(I_a\) di riferimento: circa 0,365–69,990 mA.

I parametri ottenuti sono:

Parametro	Valore fitted
\(\mu\)	10.8138849782
\(K_p\)	77.2846076456
\(K_{vb}\)	654.330455899
\(K_{g1}\)	485.642173555
\(E_x\)	1.30348252687

Le metriche globali sono:

Metrica	Valore
Punti	440
RSS	502.6329 mA²
RMSE	1.0688 mA
MAE	0.8505 mA
\(R^2\)	0.996594

Un \(R^2\) molto elevato indica che la superficie fitted segue molto bene la variazione complessiva dei dati. Non significa però «errore dello 0,34%» e non garantisce uniformità su tutte le famiglie. Per capire il limite del modello bisogna guardare la struttura dei residui.

14. Dati di riferimento e curve fitted

La sovrapposizione mostra che il modello segue bene la forma globale della famiglia, ma non coincide localmente con ogni punto. Questo è esattamente ciò che ci si aspetta da un modello compatto di cinque parametri: una forte compressione dell’informazione originale in una funzione continua.

15. Residui assoluti: dove il modello sbaglia

I residui non sono rumore casuale puro: in alcune famiglie descrivono archi e inversioni di segno. Questo è molto istruttivo. Significa che il modello ha catturato bene la superficie globale ma non possiede abbastanza gradi di libertà per riprodurre ogni dettaglio locale delle curve digitalizzate.

Per studiare un modello, il residuo è spesso più interessante della curva fitted: mostra precisamente la parte di comportamento che l’equazione non riesce a spiegare.

16. Residui relativi: perché vicino al cutoff sembrano enormi

Se la corrente di riferimento è 0,5 mA, un errore di soli 0,25 mA equivale già al 50%. È quindi normale che il grafico percentuale si allarghi vicino alla regione di cutoff anche quando l’errore assoluto è modesto.

Questo grafico va letto insieme ai residui in mA, non al loro posto. Uno dice quanto errore introduce il modello in termini di corrente assoluta; l’altro mostra quanto quell’errore sia grande rispetto al segnale locale.

17. Parity plot: ottimo per il quadro globale, insufficiente per localizzare l’errore

Il parity plot comprime le due variabili indipendenti \(V_{ak}\) e \(V_{gk}\) in un semplice confronto corrente prevista/corrente di riferimento. È eccellente per vedere bias globale, dispersione e outlier, ma non dice in quale famiglia o tensione nasce un errore. Per questo non può sostituire il grafico dei residui.

18. Errore per famiglia

Il fatto che alcune famiglie presentino un RMSE maggiore di altre è un altro segnale del limite strutturale del modello. Non significa necessariamente che quelle curve siano state digitalizzate peggio: può indicare semplicemente che una funzione a cinque parametri non può aderire contemporaneamente con la stessa precisione a ogni zona della superficie reale.

19. Dominio di training: il rettangolo min/max è ingannevole

Dire che il dataset va da 2,73 a 498,63 V e da -50 a 0 V non significa che esistano dati in ogni punto del rettangolo. Ogni famiglia copre intervalli diversi di \(V_{ak}\). GX-TXT salva quindi il dominio di training come convex hull dei 440 punti.

La distinzione è fondamentale:

• interpolazione: si valuta il modello dentro una regione realmente coperta dai dati;
• estrapolazione: si chiede alla forma matematica di prevedere ciò che i dati non hanno vincolato.

Un modello analitico restituisce quasi sempre un numero anche in estrapolazione. Questo rende l’extrapolazione particolarmente pericolosa: il risultato può essere regolare, continuo e numericamente perfetto, ma non per questo fisicamente attendibile.

20. La simulazione LTspice rende visibile il problema dell’estrapolazione

Per verificare l’implementazione ho trascritto la stessa equazione in una sorgente comportamentale LTspice e ho eseguito:

.step param Vgk -50 0 5
.dc VA 0 500 1

Il simulatore calcola quindi undici famiglie complete tra 0 e 500 V, indipendentemente dal fatto che il dataset contenga davvero punti in ogni zona. A 500 V, per esempio, il CSV LTspice restituisce:

Vgk [V]	Ia a 500 V [mA]
-50	16.4697
-45	35.0059
-40	65.6325
-35	108.7762
-30	162.6170
-25	224.7502
-20	293.2140
-15	366.6666
-10	444.2369
-5	525.3525
0	609.6198

Il dato più importante non è il numero 609,6 mA. È il fatto che il dataset usato per il fit arriva a circa 69,99 mA. Il modello continua senza difficoltà fino a oltre 600 mA perché l’equazione matematica non conosce il confine sperimentale del dataset. Questa figura è quindi un ottimo esempio del principio:

una simulazione che converge non è automaticamente una simulazione fisicamente validata.

21. La netlist LTspice usata per la verifica

La netlist riproduce la funzione triode_koren_v1 mediante una sorgente comportamentale. La corrente della B-source è espressa in ampere, perciò il fattore 2000 usato dal modello GX-TXT in mA diventa 2.

* 6BX7-GT -- LTspice validation of GX-TXT triode.koren_v1
.param mu=10.813884978151192
.param Kp=77.284607645620596
.param Kvb=654.33045589862036
.param Kg1=485.64217355533503
.param Ex=1.3034825268711401
.param Vgk=-20
.func den(vak)      {sqrt(max(Kvb + vak*vak, 1e-30))}
.func zk(vak,vgk)   {Kp*(1/mu + vgk/den(vak))}
.func softplus(x)    {max(x,0) + ln(1 + exp(-abs(x)))}
.func eone(vak,vgk) {max((vak/Kp)*softplus(zk(vak,vgk)),0)}
.func ia_koren(vak,vgk) {2*pwr(eone(vak,vgk),Ex)/Kg1}
VA A 0 0
VG G 0 {Vgk}
BTRIODE A 0 I=ia_koren(V(A),V(G))
.step param Vgk -50 0 5
.dc VA 0 500 1
.options plotwinsize=0
.end

Scarica la netlist LTspice di verifica

Un controllo puntuale del CSV mostra che LTspice e l’implementazione Octave restituiscono gli stessi valori alla precisione visualizzata. Per esempio, a \(V_{ak}=500\) V e \(V_{gk}=-50\) V entrambi danno circa 16,4697 mA; a \(V_{gk}=0\) V danno circa 609,6198 mA. Questo verifica la trascrizione dell’equazione, non la validità fisica di quei punti estremi.

22. Questa netlist non è ancora un modello SPICE completo della 6BX7-GT

La B-source appena mostrata è utile per una verifica matematica, ma sarebbe scorretto chiamarla da sola «modello completo della valvola». Mancano almeno:

• capacità interelettrodiche;
• corrente di griglia positiva;
• eventuali resistenze o elementi necessari a una robusta convergenza in circuiti complessi;
• modelli di dispersione, temperatura e variazione tra esemplari.

Per una simulazione DC nella regione coperta dal fitting, la sorgente comportamentale è esattamente ciò che serve. Per simulazioni transienti, risposta in frequenza o funzionamento con griglia positiva bisogna costruire un subcircuito più completo.

23. Cosa considero affidabile in questo modello, e cosa no

Uso	Valutazione	Motivo
Interpolazione delle caratteristiche statiche dentro il dominio coperto dai dati	Buona	Il fit globale ha RMSE ≈ 1,07 mA e \(R^2\approx0,9966\).
Confronto qualitativo tra punti di lavoro nel dominio	Buona	La superficie è continua e segue bene le famiglie digitalizzate.
Regione prossima al cutoff	Da leggere con cautela	Gli errori relativi possono crescere molto anche con piccoli residui assoluti.
Griglia positiva	Non validata	Il dataset termina a 0 V e la netlist non include corrente di griglia.
Correnti molto superiori a 70 mA	Estrapolazione	Fuori dal range di corrente dei dati usati nel fitting.
Risposta in frequenza	Non descritta dalla sola equazione	Mancano capacità interelettrodiche.
Differenze tra valvole reali	Non descritte	Il modello rappresenta una famiglia di dati nominali, non la distribuzione tra esemplari.

24. Cosa ho imparato dal caso 6BX7-GT

Il risultato più utile di questo lavoro non è soltanto avere cinque numeri da inserire in SPICE. Il fitting rende molto concreto il significato di «modello»:

• la legge di Langmuir-Child fornisce l’intuizione fisica di base;
• Koren aggiunge una formulazione fenomenologica capace di seguire meglio le curve reali;
• il solver determina i parametri che meglio rappresentano un determinato dataset;
• i residui mostrano ciò che la forma matematica non riesce a spiegare;
• il dominio di training stabilisce dove il risultato è interpolazione e dove diventa estrapolazione;
• SPICE esegue fedelmente l’equazione, ma non può sapere da solo quando la stiamo usando fuori dal suo campo di validità.

È proprio quest’ultimo punto a essere il più importante. Un buon modello non è quello che produce un numero in qualunque condizione: è quello di cui conosciamo sia la qualità del fit sia i limiti.

25. Riferimenti

1. Norman L. Koren, Improved vacuum tube models for SPICE simulations, Part 1: Models and example, versione web aggiornata nel 2003: normankoren.com/Audio/Tubemodspice_article.html.
2. Norman L. Koren, Finding SPICE tube model parameters: normankoren.com/Audio/Tube_params.html.
3. Norman L. Koren, Improved vacuum tube models for SPICE simulations, Part 2, con esempi di subcircuiti completi: normankoren.com/Audio/Tubemodspice_article_2.html.
4. General Electric, dati caratteristici 6BX7-GT usati come sorgente per la digitalizzazione delle curve.
5. GX-TXT, modulo curvefit.family_global, modello triode.koren_v1, fitting globale 6BX7-GT.