OpenFOAM: MRF e rotore congelato, metodi a confronto

Approfondimento collegato alla Guida 15 — macchine rotanti, MRF e ventole del percorso Imparare OpenFOAM 14. L’articolo è stato costruito interrogando un notebook di ricerca con le fonti citate (articoli, tesi e pagine tecniche ad accesso libero, il sorgente di OpenFOAM 14 e la Guida 15) e verificando poi ogni numero sulle fonti originali; il video in testa riassume lo stesso percorso.

Di che cosa parla. Questo approfondimento nasce dalla Guida 15 e risponde a una domanda precisa: quando una soluzione MRF («Multiple Reference Frame») di una girante o di un rotore è affidabile, e con quali metodi la si confronta. Si parte dalle equazioni che OpenFOAM 14 risolve davvero, si ricostruisce la storia dei modelli di girante nei recipienti agitati (condizioni al contorno misurate, MRF, inner–outer, griglia scorrevole, snapshot), si passa agli strumenti delle turbomacchine (mixing plane, bilancio armonico) e alla letteratura recente su RANS, LES e sensibilità alla zona MRF, per arrivare a un protocollo di verifica applicabile al tutorial mixerVessel2DMRF. Le fonti sono citate puntualmente; dove le fonti non dicono qualcosa, lo dichiariamo.

1. Il problema: una girante che si muove dentro un recipiente che sta fermo

In un recipiente agitato, in una pompa o in un ventilatore, una parte della geometria ruota e il resto è fermo. Il moto relativo fra pale e setti (o pale dello statore) rende il flusso periodico nel tempo, con il periodo del passaggio delle pale. Risolvere questo flusso alla lettera richiede un calcolo transitorio con una mesh che si muove, per molti giri: costoso. Tutti i metodi di questo articolo sono compromessi diversi fra fedeltà e costo, e differiscono soprattutto in che cosa fanno all’interfaccia fra la parte rotante e la parte ferma.

2. Che cosa risolve OpenFOAM 14 in una zona MRF

OpenFOAM usa la formulazione in velocità assoluta: il campo U scritto nelle cartelle dei tempi è sempre la velocità nel riferimento fisso, anche dentro la zona rotante. Nel sorgente (MRFZone.C) la rotazione interviene in due punti: il termine Ω × U aggiunto alla derivata materiale nelle sole celle della cellZone, e la correzione dei flussi di faccia, resi relativi sottraendo (Ω × (C_f − origin)) · S_f.

dU/dt + div(U_r U) + Omega x U = -grad(p) + div(nuEff (grad(U) + grad(U)^T))      nella cellZone MRF
dU/dt + div(U U)                 = -grad(p) + div(nuEff (grad(U) + grad(U)^T))      altrove
div(U) = 0,    U_r = U - Omega x (r - origin),    Omega = omega * axis/|axis|

Il termine centrifugo non compare a parte: nella formulazione assoluta Ω × U contiene sia l’effetto di Coriolis sia quello centrifugo del riferimento relativo. Le pareti che ruotano con la zona usano MRFnoSlip, che impone la velocità assoluta Ω × r; se nessuna patch del campo U ha una condizione MRF, il solver si ferma.

Che cosa significa «rotore congelato». La soluzione è stazionaria e le pale restano in una sola posizione rispetto ai setti per tutto il calcolo. Il risultato non è la media su un giro, ma un’istantanea per quella posizione relativa, calcolata come se il flusso visto dalla girante fosse stazionario. Sull’interfaccia la velocità assoluta passa da una zona all’altra senza media circonferenziale: l’approssimazione è buona dove il campo varia poco lungo la circonferenza, cattiva dove l’interfaccia taglia getti, scie di pala o vortici.

3. Prima di MRF: le condizioni al contorno della girante

I primi calcoli dei recipienti agitati non calcolavano la girante. La regione spazzata dalle pale era una «scatola nera» e sul suo contorno si imponevano profili di velocità e grandezze turbolente misurati con l’anemometria laser (LDA). Il costo è basso, ma il risultato dipende interamente dai dati: Brucato et al. (1998) mostrano che il metodo dà risultati soddisfacenti solo se i dati vicino alla girante sono noti con buona precisione, e può dare errori grandi altrimenti.

Luo, Issa e Gosman (1994) proposero le «multiple frames of reference» proprio per svincolare il calcolo dai dati sperimentali: con MRF bastano la geometria e la velocità di rotazione. È lo schema implementato da OpenFOAM con MRFProperties.

4. Inner–outer: due regioni sovrapposte e una media

Nell’approccio inner–outer, confrontato da Brucato et al. (1998), il recipiente è diviso in due regioni concentriche parzialmente sovrapposte. La regione interna, che contiene la girante, è risolta nel riferimento rotante; quella esterna nel riferimento fisso. Entrambe sono stazionarie e si scambiano iterativamente le condizioni al contorno lungo la fascia sovrapposta, dopo una media azimutale e la trasformazione per il moto relativo.

	MRF	inner–outer
Regioni	due, con una sola interfaccia	due, con una fascia sovrapposta
Riferimento rotante	zona della girante	regione interna
Scambio fra le regioni	diretto, senza media	iterativo, valori mediati in direzione azimutale
Dipendenza dalla posizione delle pale	sì (rotore congelato)	eliminata dalla media
Scie delle pale nella regione esterna	sì, per la posizione congelata	perse dalla media

Le due strategie sono parenti strette; la differenza sta in che cosa si accetta di perdere: MRF perde la storia temporale, inner–outer perde anche la struttura circonferenziale nella zona esterna.

5. Griglia scorrevole: il rotore che ruota davvero

Con la griglia scorrevole («sliding mesh») il blocco di mesh che contiene la girante ruota fisicamente a ogni passo temporale e scorre sull’interfaccia cilindrica con il blocco fermo. Il calcolo è transitorio e non richiede dati sperimentali. Due esempi quantitativi aiutano a capirne il costo.

• Bakker, LaRoche, Wang e Calabrese (1998), flusso laminare: recipiente T = 0,3 m, turbina a quattro pale inclinate a 45°, D = T/3, distanza dal fondo C = T/3, pale larghe 0,2D, quattro setti larghi T/12 staccati di T/72 dalla parete. Settore di 90° con condizioni cicliche, circa 49 000 nodi, passo 0,01 s, fino a 1000 passi (37,5 giri), circa 15 minuti di calcolo per giro su un Cray C-90. Lo stato periodico richiede circa 15 giri a Re = 40 e circa 35 giri a Re = 1200; la velocità tangenziale media è la grandezza che converge più lentamente. A Re ≈ 40 il getto della girante è prevalentemente radiale; sopra Re ≈ 400 diventa assiale e raggiunge il fondo; il numero di pompaggio diminuisce sensibilmente al diminuire di Re.
• Hartmann et al. (2004), turbina Rushton a Re = 7300 (T = 150 mm, D = T/3, N = 2672 rpm, velocità di punta 7 m/s, olio siliconico ρ = 1039 kg/m³, μ = 15,9 mPa·s), RANS transitorio con griglia scorrevole e modello SST in CFX: 241 464 nodi, 228 096 esaedri, passo di 1,25 ms (20° di rotazione) per arrivare al regime e poi di 250 μs (4°), 10 iterazioni per passo, sei processori.

Il confronto con le misure LDA di una turbina Rushton è discusso anche da Ng et al. (1998). La griglia scorrevole è il riferimento naturale per giudicare MRF, ma va mediata su un numero intero di giri dopo il transitorio iniziale, che a basso Re può richiedere decine di giri.

6. Snapshot: un’istantanea senza muovere la mesh

L’approccio «snapshot» di Ranade e Dommeti (1996), esteso a giranti di forma qualsiasi da Ranade, Tayalia e Krishnan (2002), calcola un flusso quasi stazionario per una posizione istantanea della girante: nella regione spazzata dalle pale le derivate temporali sono scritte come derivate spaziali, e la girante è rappresentata con termini sorgente sulle superfici delle pale. Non servono dati sperimentali né parametri aggiustabili; nel lavoro del 2002 (FLUENT, k-ε standard, schema QUICK con limitatore SUPERBEE) l’approccio riproduce la coppia di vortici di scia dietro le pale di una turbina Rushton e di una turbina a pale inclinate. Concettualmente è un’altra forma di «rotore congelato», con una formulazione diversa della zona della girante.

7. Il confronto sistematico: Brucato et al. (1998) e Micale et al. (1999)

Brucato, Ciofalo, Grisafi e Micale (1998) confrontarono condizioni al contorno della girante, inner–outer e griglia scorrevole su recipienti con setti agitati da una o due turbine Rushton e da una girante elicoidale assiale, con dati sperimentali di letteratura. Conclusione: il primo metodo è affidabile solo con dati accurati vicino alla girante; inner–outer e griglia scorrevole danno risultati soddisfacenti senza informazioni empiriche, con una generalità molto maggiore.

Micale, Brucato, Grisafi e Ciofalo (1999) applicarono gli stessi approcci a un recipiente con due turbine Rushton sullo stesso albero. Le misure mostrano che la struttura dei ricircoli dipende dalla posizione delle giranti. Griglia scorrevole e inner–outer danno risultati simili fra loro e riproducono questa dipendenza; le condizioni imposte a partire da misure su una sola girante falliscono, perché l’interazione fra le due giranti cambia i profili vicino alle pale.

8. RANS contro LES: che cosa non si vede con un modello di turbolenza isotropo

Hartmann et al. (2004) hanno confrontato con misure LDA il RANS transitorio della sezione 5 e una LES con metodo lattice-Boltzmann: griglia uniforme di 240³ celle (passo T/240 = 0,625 mm, girante di 80 passi reticolari), passo temporale di circa 7,74 μs (2900 passi per giro), circa 1,16 GB di memoria, medie su 15 giri. Risultati principali:

• entrambi i calcoli riproducono i due ricircoli medi principali;
• il RANS sottostima in modo sistematico l’energia cinetica turbolenta nel getto della girante, dove avviene gran parte della miscelazione; la LES ne riproduce meglio struttura e ampiezza;
• il RANS dà dissipazioni più elevate e più concentrate;
• l’analisi del tensore di anisotropia mostra turbolenza quasi isotropa nei ricircoli ma fortemente anisotropa nel getto, negli strati limite e nei punti di separazione: è il motivo più probabile per cui i modelli a viscosità turbolenta isotropa sbagliano proprio dove la turbolenza conta di più.

Per la LES delle turbine Rushton il riferimento precedente è Derksen e Van den Akker (1999).

9. Prima di giudicare un modello: incertezza numerica e dimensione della zona MRF

Coroneo, Montante, Paglianti e Magelli (2011) mostrano che molti giudizi negativi sul RANS nei recipienti agitati dipendono da griglie insufficienti e schemi diffusivi: prima di attribuire un errore al modello di turbolenza occorre quantificare l’incertezza numerica (griglia, schemi) e validare, nel loro caso anche con curve di omogeneizzazione misurate con fluorescenza indotta da laser (PLIF).

Reid et al. (2025), con OpenFOAM e MRF stazionario su una turbina Rushton a Re = 28 830, hanno variato il diametro della zona MRF fra 1,10 e 1,93 volte quello della girante (spessore costante pari a 1,55 volte l’altezza W delle pale):

• i profili di velocità cambiano poco;
• il numero di potenza cresce di oltre il 10 % passando dalla zona più piccola alla seconda;
• le zone più grandi generano una fascia di turbolenza artificiale sull’interfaccia; dalla zona più piccola alla più grande l’intensità turbolenta cresce in modo graduale, fino al 19 % secondo gli autori;
• il tempo di miscelazione di uno scalare passivo cambia fino a un fattore tre.

La loro raccomandazione è esplicita: il test sulla dimensione della zona MRF deve diventare pratica standard nelle simulazioni RANS dei recipienti agitati.

10. Dalle turbomacchine: mixing plane e bilancio armonico

Nelle turbomacchine multistadio il problema è lo stesso, con file di pale che si muovono le une rispetto alle altre. Due soluzioni classiche:

• Mixing plane (Denton 1992): all’interfaccia fra rotore e statore il flusso è mediato in direzione circonferenziale; ogni fila di pale è calcolata in modo stazionario nel proprio riferimento. Elimina la dipendenza dalla posizione relativa delle pale (come l’inner–outer), al prezzo di perdere scie e interazioni non stazionarie.
• Bilancio armonico (Hall, Thomas e Clark 2002): il flusso periodico è rappresentato con una serie di Fourier di poche armoniche a coefficienti variabili nello spazio, risolta come un problema stazionario con le tecniche dei solver stazionari; gli autori riportano costi da uno a due ordini di grandezza inferiori a quelli di un calcolo nel dominio del tempo.

11. In OpenFOAM: MRF, mesh mobile e interfacce non conformi

In OpenFOAM Foundation il moto relativo reale si realizza con una mesh mobile e le interfacce non conformi (NCC), introdotte in OpenFOAM-dev il 18 maggio 2022 e disponibili da OpenFOAM 10, sviluppate da Will Bainbridge con Henry Weller. Secondo CFD Direct, NCC sostituisce ACMI e Repeat AMI: l’interpolazione di AMI non garantisce flussi conservativi e in un recipiente chiuso ha prodotto un aumento fittizio di pressione di circa 40 kPa sopra i 100 kPa iniziali; ACMI è affidabile solo su patch perfettamente piane. NCC proietta una patch sull’altra e crea nuove facce dalle intersezioni, che appartengono a entrambe le mesh: l’accoppiamento resta conservativo.

Metodo	Tutorial OpenFOAM 14
MRF	incompressibleFluid/mixerVessel2DMRF, incompressibleFluid/simpleRushtonMRF
mesh mobile con NCC	incompressibleFluid/mixerVessel2D, incompressibleFluid/simpleRushtonNCC, incompressibleFluid/propeller, incompressibleFluid/impeller
riferimento rotante unico (SRF)	incompressibleFluid/rotor2DSRF, incompressibleFluid/mixerSRF
disco attuatore	incompressibleFluid/rotorDisk

12. Il caso di studio: mixerVessel2DMRF

Il tutorial della Guida 15 è un recipiente 2D di raggio 0,1 m con mozzo di 0,02 m, quattro pale rotoriche fino a 0,05 m e quattro pale statoriche da 0,07 a 0,1 m, spessore 0,01 m, 3072 celle (1536 nella cellZone rotor), modello k-ε e ν = 1e-5 m²/s. L’interfaccia della zona MRF è il cilindro r = 0,06 m: a 1 cm dalla punta delle pale del rotore e a 1 cm da quella delle pale dello statore, cioè dentro la regione delle scie, dove l’ipotesi di campo poco variabile lungo la circonferenza è più debole. Con la campagna 30–60–120 rpm il numero di Reynolds del recipiente Re = N D²/ν vale 500, 1000 e 2000: un regime di transizione, nel quale anche la scelta k-ε va verificata.

Protocollo di verifica, sempre su copie nuove dei casi:

1. Convergenza e bilancio: coppia del rotore stabile e somma delle coppie su rotore e statore vicina a zero (script add_monitors.py e mrf_torque.py della Guida 15).
2. Dimensione della zona MRF: spostare l’interfaccia con la variabile rMid del dizionario di mesh, per esempio a 0,055 e 0,065 m, e confrontare coppia, bilancio e profili, come raccomandano Reid et al. (2025).
3. Modello di turbolenza: ripetere il caso con simulationType laminar.
4. Rotore che ruota davvero: il tutorial mixerVessel2D usa la stessa mesh con rotazione reale e NCC; prima del confronto vanno allineati modello (laminare contro k-ε) e condizione sulle pale (movingWallSlipVelocity contro MRFnoSlip), e le grandezze vanno mediate su un numero intero di giri dopo il transitorio.

# zona MRF più piccola, in una NUOVA copia (rMid fra 0.05 e 0.07)
cp "$FOAM_TUTORIALS/resources/blockMesh/mixerVessel2D" system/blockMeshDict
foamDictionary system/blockMeshDict -entry rMid -set 0.055
blockMesh > log.blockMesh 2>&1 && checkMesh > log.checkMesh 2>&1 && foamRun > log.foamRun 2>&1

Se coppia e profili medi cambiano poco nelle prove 2–4, il risultato MRF è difendibile; altrimenti va presentato come stima, dichiarando quale prova lo mette in discussione.

13. Sintesi: quale metodo per quale domanda

Metodo	Tempo	Dati sperimentali	Passaggio delle pale	Quando usarlo
condizioni al contorno della girante	stazionario	indispensabili	no	solo con dati affidabili per la stessa geometria
MRF (rotore congelato)	stazionario	no	no, una posizione	campi medi e potenza con interazione rotore–statore debole; verificare la zona
inner–outer	stazionario, iterativo	no	no, mediato	come MRF, senza dipendenza dalla posizione
snapshot	stazionario	no	no, una posizione	istantanea vicino alle pale a costo ridotto
mixing plane	stazionario	no	no, mediato	turbomacchine multistadio, prestazioni globali
bilancio armonico	periodico	no	sì, per armoniche	flussi periodici non stazionari a costo ridotto
griglia scorrevole / NCC	transitorio	no	sì	interazione rotore–statore, riferimento per gli altri
LES con girante in moto	transitorio	no	sì, con le fluttuazioni	turbolenza nel getto, miscelazione

14. Che cosa le fonti non dicono

• Nessuna delle fonti citate dà numeri per il recipiente 2D di OpenFOAM: le prove della sezione 12 sono da fare, non risultati già noti.
• Il numero di potenza per unità di profondità calcolato nel caso 2D non è confrontabile con i valori 3D di letteratura (per esempio N_p ≈ 5 per una turbina Rushton in regime turbolento).
• Le leggi di affinità (Q ∝ N, ΔP ∝ N², P ∝ N³) presuppongono un regime in cui il numero di Reynolds non conta: non valgono automaticamente per la campagna a Re = 500–2000.
• Da una simulazione MRF di un recipiente chiuso non si ricava una curva pressione–portata: servono domini con ingressi e uscite.
• Hartmann et al. (2004) non riportano il numero di giri simulati né il tempo di calcolo del RANS; Reid et al. (2025) non confrontano MRF con la griglia scorrevole.

15. Riferimenti

1. J. Y. Luo, R. I. Issa, A. D. Gosman, «Prediction of impeller-induced flows in mixing vessels using multiple frames of reference», IChemE Symposium Series 136 (1994) 549–556.
2. A. Brucato, M. Ciofalo, F. Grisafi, G. Micale, «Numerical prediction of flow fields in baffled stirred vessels: a comparison of alternative modelling approaches», Chem. Eng. Sci. 53 (1998) 3653–3684, doi:10.1016/S0009-2509(98)00149-300149-3).
3. G. Micale, A. Brucato, F. Grisafi, M. Ciofalo, «Prediction of flow fields in a dual-impeller stirred vessel», AIChE J. 45 (1999) 445–464, doi:10.1002/aic.690450303.
4. A. Bakker, R. D. LaRoche, M.-H. Wang, R. V. Calabrese, «Sliding mesh simulation of laminar flow in stirred reactors», The Online CFM Book (1998, aggiornato 2000), PDF.
5. K. Ng, N. J. Fentiman, K. C. Lee, M. Yianneskis, «Assessment of sliding mesh CFD predictions and LDA measurements of the flow in a tank stirred by a Rushton impeller», Trans. IChemE 76A (1998) 737–747.
6. V. V. Ranade, S. M. S. Dommeti, «Computational snapshot of flow generated by axial impellers in baffled stirred vessels», Chem. Eng. Res. Des. 74 (1996) 476–484.
7. V. V. Ranade, Y. Tayalia, H. Krishnan, «CFD predictions of flow near impeller blades in baffled stirred vessels: assessment of computational snapshot approach», Chem. Eng. Commun. 189 (2002) 895–922, doi:10.1080/00986440213134.
8. J. J. Derksen, H. E. A. Van den Akker, «Large eddy simulations on the flow driven by a Rushton turbine», AIChE J. 45 (1999) 209–221, PDF.
9. H. Hartmann, J. J. Derksen, C. Montavon, J. Pearson, I. S. Hamill, H. E. A. van den Akker, «Assessment of large eddy and RANS stirred tank simulations by means of LDA», Chem. Eng. Sci. 59 (2004) 2419–2432, doi:10.1016/j.ces.2004.01.065.
10. M. Coroneo, G. Montante, A. Paglianti, F. Magelli, «CFD prediction of fluid flow and mixing in stirred tanks: numerical issues about the RANS simulations», Comput. Chem. Eng. 35 (2011) 1959–1968, doi:10.1016/j.compchemeng.2010.12.007.
11. A. Reid et al., «CFD simulation of a Rushton turbine stirred-tank using open-source software with critical evaluation of MRF-based rotation modeling», Meccanica 60 (2025) 1613–1637, doi:10.1007/s11012-024-01824-z, accesso aperto.
12. J. D. Denton, «The calculation of three-dimensional viscous flow through multistage turbomachines», J. Turbomach. 114 (1992) 18–26, doi:10.1115/1.2927983.
13. K. C. Hall, J. P. Thomas, W. S. Clark, «Computation of unsteady nonlinear flows in cascades using a harmonic balance technique», AIAA J. 40 (2002) 879–886.
14. CFD Direct, Non-Conformal Coupling e Using Non-Conformal Coupling.
15. OpenFOAM Foundation 14, MRFZone.C e tutorial mixerVessel2DMRF, mixerVessel2D.

Per gli script di monitoraggio (coppia, bilancio del momento angolare, potenza) e per la campagna MRF a 30, 60 e 120 rpm si veda la Guida 15; per l’incertezza di discretizzazione e il Grid Convergence Index la Guida 4.