Modello compatto della corrente di griglia del thyratron 2D21 durante la conduzione anodica

16 Settembre 2026 di giux Cenni di teoria in elettronica, elettronica, Simulazione elettronica 62 min di lettura

Introduzione

Il 2D21 è un piccolo thyratron a gas progettato per applicazioni di controllo e commutazione. I datasheet storici non ne descrivono il comportamento mediante un’unica equazione, ma attraverso diverse famiglie di curve caratteristiche.

In questo primo lavoro mi concentro su una sola di queste famiglie: la corrente della griglia di controllo durante la conduzione anodica. La grandezza che voglio descrivere è quindi:

\[ I_g = F(V_g,I_a) \]

dove:

$V_g$ è la tensione della griglia di controllo;
$I_g$ è la corrente della griglia di controllo;
$I_a$ è la corrente anodica, che identifica le diverse curve della famiglia.

Il comportamento della griglia dei thyratron non è naturalmente un problema nuovo. La corrente di griglia, il potenziale critico di controllo, il firing e il comportamento della griglia immersa nel plasma compaiono già nei primi lavori su questi dispositivi che ho consultato.

Nel 1931 W. B. Nottingham pubblicò misure della corrente di griglia, del potenziale critico di griglia e di altre caratteristiche di piccoli thyratron [Nottingham, 1931].

Nel 1954 Mullard pubblicò Thyratrons for Industrial Control, una trattazione dedicata ai thyratron per applicazioni industriali che comprende anche caratteristiche della corrente ionica di griglia durante la conduzione [Mullard, 1954].

Una trattazione fisica particolarmente utile è quella di H. H. Wittenberg nel capitolo Gas Tube Design, contenuto nel volume Electron Tube Design del 1962 [Wittenberg, 1962].

Wittenberg descrive la griglia, durante la conduzione del thyratron, come una sonda immersa nel plasma. La corrente raccolta dalla griglia deriva dal contributo di ioni ed elettroni e dipende dalle condizioni della scarica. Questo fornisce una base fisica importante per comprendere perché la corrente di griglia non dipenda soltanto dalla tensione applicata alla griglia, ma anche dalla corrente anodica e, più in generale, dallo stato del plasma all’interno del tubo.

Nota sul documento: la copia del volume Electron Tube Design che ho utilizzato proviene da Wikimedia Commons, dove l’opera è indicata come Public Domain. Il PDF è conservato anche su Giux-Lab per facilitarne la consultazione. Per i dettagli sullo stato di pubblico dominio e sulle eventuali limitazioni territoriali si rimanda alla pagina della fonte.

Esiste anche un precedente diretto per la simulazione SPICE del 2D21: il macromodello sviluppato da Zabb Csaba. L’autore lo dichiara applicabile ai thyratron PL21, 2D21 e 21TE31 e lo pubblica nella propria raccolta di modelli SPICE [SPICE Models – Zabb Csaba].

Zabb mette inoltre a disposizione un breve documento dedicato al modello [Thyratron Macro Model – PDF]. Il documento mostra alcune applicazioni pratiche: un oscillatore a rilassamento, con confronto tra simulazione e misure sperimentali, e un circuito timebase del tipo utilizzato nei primi oscilloscopi.

Il macromodello di Zabb è quindi un precedente importante e non sarebbe corretto presentare questo lavoro come il primo modello matematico o il primo modello SPICE applicabile al 2D21. Il problema che voglio affrontare qui è però differente.

Nelle fonti che ho esaminato non ho trovato un modello compatto quantitativo del 2D21 ricavato direttamente dalla famiglia completa delle caratteristiche del costruttore:

\[ I_g = F(V_g,I_a) \]

con una procedura documentata di estrazione dei parametri, analisi dell’incertezza e confronto quantitativo con le curve utilizzate per costruire il modello.

Per questo motivo sono partito dalle caratteristiche pubblicate da General Electric. Ho digitalizzato le curve più volte utilizzando calibrazioni indipendenti e le ho successivamente combinate per ottenere una curva di consenso e una stima della dispersione introdotta dal processo di digitalizzazione.

Il datasheet contiene le famiglie corrispondenti a:

\[ I_a = 5,\ 25,\ 50,\ 100,\ 150,\ 200,\ 300\ \mathrm{mA} \]

Ho identificato la struttura principale del modello soprattutto utilizzando le famiglie comprese tra $25$ e $200\ \mathrm{mA}$. Ho utilizzato la curva a $300\ \mathrm{mA}$ anche nei controlli di robustezza, mentre ho mantenuto separata quella a $5\ \mathrm{mA}$ come verifica di un possibile comportamento differente a bassa corrente.

L’obiettivo non era trovare semplicemente un’equazione indipendente per ogni curva. Un insieme di fit separati avrebbe potuto riprodurre bene il grafico originale, ma avrebbe fornito poche informazioni sulla struttura comune dell’intera famiglia.

Ho quindi cercato una rappresentazione nella quale le diverse curve potessero essere descritte mediante funzioni matematiche comuni e un numero limitato di parametri specifici per ciascuna famiglia.

Il risultato di questo lavoro è il modello 2D21 Level-1 v0.1.

Il suo campo di applicazione è volutamente limitato. Il modello descrive esclusivamente:

\[ I_g = F(V_g,I_a) \]

durante la conduzione anodica.

Non descrive ancora:

l’innesco del thyratron;
l’estinzione della scarica;
la deionizzazione e il recovery;
l’effetto della seconda griglia $G_2$;
la dinamica temporale completa;
il comportamento SPICE completo del dispositivo.

In questo articolo mostrerò, un passo alla volta, da quali curve sono partito, come le ho digitalizzate, come ho trasformato i dati e come sono arrivato alla struttura matematica finale. Mostrerò anche dove il modello riproduce bene le caratteristiche originali, dove rimangono differenze e quali sono i suoi limiti.

Considero ora congelata la struttura matematica della versione 0.1. Non aggiungerò quindi altri parametri soltanto per migliorare ulteriormente il fit delle stesse curve General Electric.

Affronterò in un lavoro separato la verifica della stessa struttura su caratteristiche pubblicate da altri costruttori, così da stabilire quanto il modello possa essere generalizzato. In parallelo, per l’obiettivo originario legato al Flash-Matic, potrò implementare questa legge statica come uno dei sottoblocchi di un futuro macromodello SPICE del 2D21, senza confondere l’implementazione circuitale con la validazione su altri dispositivi.

Il modello proposto

Prima di descrivere come ho digitalizzato le curve, come ho scelto i parametri e perché sono arrivato a questa forma matematica, preferisco mostrare subito il risultato.

Il modello 2D21 Level-1 v0.1 descrive la corrente della griglia di controllo durante la conduzione anodica:

\[ I_g = F(V_g,I_a) \]

La prima operazione consiste nel normalizzare la corrente di griglia rispetto alla corrente anodica:

\[ Y=\frac{I_g}{I_a} \]

Divido quindi la caratteristica in due regioni attorno alla tensione $V_0$, che definisco come il punto nel quale la corrente di griglia cambia segno:

\[ I_g(V_0)=0 \]

Il modello completo normalizzato è:

\[ Y = \begin{cases} G_-(X_-;Q_A,U_{20}), & V_g \le V_0 \\[2mm] G_+(X_+;K), & V_g > V_0 \end{cases} \]

con:

\[ X_-=\frac{V_g-V_0}{S_-} \]

\[ X_+=\frac{V_g-V_0}{S_+} \]

Ramo positivo

Per $V_g > V_0$ il modello utilizza:

\[ G_+(X;K) = 0.005 \frac{\exp(KX)-1} {\exp(K)-1} \]

Per il 2D21 il valore identificato è:

\[ K \approx 0.551 \]

Ramo negativo

Per $V_g \le V_0$ il modello utilizza:

\[ G_-(X;Q_A,U_{20}) = -Q_A+ \sum_{j=1}^{3}A_j\exp(\lambda_jX) \]

con tre coefficienti esponenziali caratterizzati dalle costanti:

\[ \lambda_1=0.060 \]

\[ \lambda_2=0.240 \]

\[ \lambda_3=0.960 \]

cioè nel rapporto:

\[ 1:4:16 \]

I coefficienti $A_1$, $A_2$ e $A_3$ non sono parametri liberi del modello. Li calcolo a partire da due parametri geometrici della singola famiglia, $Q_A$ e $U_{20}$, imponendo tre condizioni:

\[ G_-(0)=0 \]

\[ G_-(-1)=-0.01 \]

\[ G_-(-U_{20})=-0.020 \]

Ottengo infine la corrente di griglia tornando dalla forma normalizzata alla corrente reale:

\[ I_g=I_a\,Y \]

I parametri della singola famiglia

Per ogni valore della corrente anodica il modello richiede cinque quantità:

\[ V_0,\qquad S_-,\qquad S_+,\qquad Q_A,\qquad U_{20} \]

Queste quantità determinano la posizione della curva, le sue scale lungo l’asse della tensione e la forma della regione a corrente di griglia negativa.

Nella versione 0.1 questi parametri sono determinati separatamente per ciascuna famiglia di corrente anodica. La notazione $I_g=F(V_g,I_a)$ identifica quindi la famiglia tramite $I_a$, ma non implica ancora che il modello sappia interpolare automaticamente i parametri a un valore arbitrario di corrente anodica.

La struttura matematica rimane invece comune alle diverse famiglie. Questo è il punto principale del modello: non utilizzare un’equazione indipendente per ogni curva, ma cercare una struttura comune capace di rappresentarle tutte modificando soltanto un piccolo insieme di parametri.

Cosa descrive e cosa non descrive

I due rami sono continui nel punto $V_0$:

\[ G_-(0)=G_+(0)=0 \]

Il modello è quindi continuo nella corrente, ma non impone che i due rami abbiano anche la stessa pendenza nel punto di attraversamento. In termini matematici il modello è $C^0$, ma non $C^1$. Mostrerò più avanti che questa scelta non è arbitraria: imporre anche la continuità della derivata produce un accordo molto peggiore con le curve digitalizzate.

È inoltre importante ricordare che questa equazione non rappresenta ancora il comportamento completo del thyratron. Descrive soltanto la famiglia:

\[ I_g(V_g,I_a) \]

durante la conduzione anodica. Affronterò separatamente trigger, estinzione, recovery, seconda griglia e comportamento dinamico.

Nei capitoli successivi mostrerò da dove provengono queste equazioni, che cosa rappresentano i singoli parametri e perché ho preferito questa struttura ad alternative apparentemente più semplici.

Questo modello rappresenta quindi il primo passo necessario verso l’obiettivo finale: ottenere un modello del 2D21 utilizzabile in SPICE e, se la struttura si dimostrerà sufficientemente generale, estendibile anche ad altri thyratron della stessa famiglia.

Il datasheet e il grafico di partenza

Il punto di partenza del modello è il datasheet originale del General Electric 2D21. Metto a disposizione qui la copia che ho utilizzato per questo lavoro: [General Electric 2D21 – datasheet PDF].

Tra le diverse caratteristiche riportate nel documento, quella utilizzata in questa prima fase è il grafico Average Characteristics During Anode Conduction. Il grafico mostra la corrente della griglia di controllo $I_g$ in funzione della tensione di griglia $V_g$, per diversi valori della corrente anodica $I_a$.

Grafico GE 2D21 della corrente della griglia di controllo in funzione della tensione di griglia per correnti anodiche da 5 a 300 mA durante la conduzione. — Caratteristiche medie del General Electric 2D21 durante la conduzione anodica: corrente della griglia di controllo (I_g) in funzione della tensione (V_g), per diverse correnti anodiche (I_a). Grafico originale GE del 17 ottobre 1953.

Poiché il datasheet fornisce queste caratteristiche soltanto in forma grafica, il mio primo passaggio è stato trasformarle in dati numerici. Per farlo ho utilizzato Curve Digitizer, il software che ho sviluppato per calibrare gli assi di un grafico e digitalizzarne le curve.

Non ho eseguito la digitalizzazione una sola volta. Ho effettuato più acquisizioni e calibrazioni indipendenti dello stesso grafico, in modo da poter successivamente confrontare i risultati e stimare quanto il processo di lettura dell’immagine influenzi i dati ottenuti.

Nel prossimo passaggio mostrerò quali dati ho ricavato da queste digitalizzazioni e come li ho combinati prima di utilizzarli per costruire il modello.

Dalle digitalizzazioni al dataset di consenso

Una singola digitalizzazione di un grafico non può essere considerata un dato esatto. La posizione dei punti dipende dalla calibrazione degli assi, dalla risoluzione dell’immagine e dalla scelta manuale dei punti lungo le curve.

Per questo motivo non ho utilizzato direttamente una sola acquisizione. Ho digitalizzato le caratteristiche più volte, utilizzando calibrazioni indipendenti, e ho successivamente confrontato i risultati.

Per questa fase ho utilizzato il mio framework di analisi GX-TXT Pipeline, sviluppato in Tcl/Tk. Il programma è costruito attorno a un’API definita che permette di aggiungere moduli di analisi indipendenti senza modificare il nucleo del software. Pubblicherò prossimamente il framework.

Il modulo utilizzato in questo caso è:

curve.replicate_analysis

Il suo compito non è eseguire il fitting del modello fisico, ma confrontare le digitalizzazioni replicate, costruire una curva di consenso e stimare l’incertezza associata al processo di digitalizzazione.

Le digitalizzazioni replicate

Per ogni valore della corrente anodica ho confrontato tre sorgenti indipendenti della stessa curva. Con sette famiglie di corrente anodica questo corrisponde a 21 insiemi di punti.

I file non contengono un identificatore esplicito della singola ripetizione. Per questo motivo ho trattato i dati come point cloud non etichettate: non utilizzo l’ordine delle righe nei file CSV e non lo interpreto come informazione sperimentale.

Non ho inoltre dedotto il numero di misure indipendenti dal numero dei punti digitalizzati. Una curva con molti punti non rappresenta automaticamente un numero maggiore di esperimenti indipendenti: indica soltanto una digitalizzazione più densa.

Costruzione della curva di consenso

Per ogni sorgente e per ogni famiglia il modulo costruisce una rappresentazione locale della curva mediante regressione lineare locale. Eseguo il confronto soltanto nell’intervallo di tensione comune alle diverse digitalizzazioni, senza estrapolare oltre il dominio effettivamente coperto dai dati.

Da queste rappresentazioni ottengo una curva media di consenso, successivamente campionata su una griglia uniforme di circa 300 punti per famiglia.

Questi 300 punti non devono essere interpretati come 300 misure indipendenti. Sono semplicemente una rappresentazione numerica sufficientemente densa della curva di consenso, utile per il fitting e per l’analisi dei residui.

Stima dell’incertezza

Ho separato l’incertezza in due contributi.

Il primo, che indico come:

\[ \sigma_{\mathrm{within}} \]

descrive la dispersione locale dei punti attorno alla curva ricostruita all’interno delle singole sorgenti.

Il secondo:

\[ \sigma_{\mathrm{between}} \]

misura invece quanto differiscono tra loro le curve ottenute dalle diverse digitalizzazioni e calibrazioni.

Ho combinato i due contributi come:

\[ \sigma_{\mathrm{total}} = \sqrt{ \sigma_{\mathrm{within}}^2 + \sigma_{\mathrm{between}}^2 } \]

Questa è l’incertezza che utilizzerò successivamente per valutare quanto gli scarti fra modello e dati siano grandi rispetto alla dispersione introdotta dalla digitalizzazione.

Per il fitting e per la valutazione dei residui non ho utilizzato l’errore standard della media come incertezza principale. L’obiettivo è infatti rappresentare la dispersione del processo di digitalizzazione e calibrazione, non soltanto la precisione con cui è stimata la curva media. Per questo motivo nelle verifiche successive utilizzo $\sigma_{\mathrm{total}}$, che conserva la scala della variabilità osservata fra le digitalizzazioni.

Un caso particolare: la curva a 300 mA

L’analisi mostra immediatamente che la famiglia a $300\ \mathrm{mA}$ è molto più incerta delle altre. Il suo intervallo utile di tensione è inoltre molto più corto, perché la curva originale copre soltanto la regione vicina alla transizione.

Questa differenza diventerà importante più avanti: la curva a $300\ \mathrm{mA}$ rimane utile per verificare la struttura del modello, ma non permette di determinare tutti i parametri con la stessa affidabilità delle famiglie comprese tra $25$ e $200\ \mathrm{mA}$.

Sovrapposizione delle tre digitalizzazioni indipendenti delle sette famiglie di corrente di griglia del thyratron 2D21. — Sovrapposizione dei punti ottenuti dalle tre digitalizzazioni indipendenti del grafico GE. La buona coincidenza generale permette di valutare direttamente la riproducibilità del processo di digitalizzazione.

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Riproducibilità dei dati

A questo punto il dato di partenza è già riproducibile in modo indipendente: ho indicato il datasheet originale utilizzato e il software Curve Digitizer con cui ho estratto numericamente le curve dal grafico.

Chi vuole ripetere il lavoro può quindi partire dalla stessa immagine e realizzare una propria digitalizzazione delle caratteristiche.

Per la fase successiva, cioè la costruzione automatica della curva di consenso e della relativa stima di incertezza, ho utilizzato il modulo curve.replicate_analysis del mio framework GX-TXT Pipeline. Il framework non è ancora pubblicato, ma intendo renderlo disponibile prossimamente insieme ai moduli utilizzati in questa analisi.

Fino a quel momento ho descritto qui il procedimento utilizzato e le grandezze calcolate, in modo da distinguere chiaramente i dati ottenuti direttamente dalla digitalizzazione dalle elaborazioni statistiche successive.

Dalle curve di consenso alla ricerca di una forma comune

Una volta ottenute le curve di consenso, il problema successivo è capire se le diverse famiglie abbiano qualcosa in comune oppure se debbano essere descritte come curve completamente indipendenti.

La prima trasformazione che ho provato è stata dividere la corrente di griglia per la corrente anodica della relativa famiglia: \[ Y=\frac{I_g}{I_a} \]

Questa operazione rende $Y$ una quantità adimensionale e permette di confrontare direttamente curve ottenute a correnti anodiche molto diverse.

L’obiettivo delle trasformazioni che seguono non è quello di modificare i dati per costringere artificialmente le curve a sovrapporsi. L’idea è piuttosto cercare di separare le differenze puramente geometriche — ampiezza, posizione e scala — dalle differenze che rappresentano un reale cambiamento della forma della caratteristica.

Un esempio semplice può aiutare. Due curve possono avere esattamente la stessa forma, ma una può essere più alta dell’altra, spostata orizzontalmente oppure più larga. Osservandole nel sistema di coordinate originale sembrerebbero differenti; dopo aver corretto opportunamente scala e posizione potrebbero invece risultare sovrapponibili.

Se questo accade, significa che non è necessario costruire una formula completamente diversa per ogni valore della corrente anodica. Le varie caratteristiche possono essere interpretate come versioni trasformate di una stessa struttura matematica di base.

Il procedimento seguito sul 2D21 è quindi progressivo. Ogni passaggio cerca di eliminare una sola sorgente di differenza fra le curve, osservando poi ciò che rimane.

Il primo passo è la normalizzazione verticale già introdotta: \[ Y=\frac{I_g}{I_a}. \]

Successivamente individuo, per ogni famiglia, il valore di tensione $V_0$ nel quale la corrente di griglia cambia segno: \[ I_g(V_0)=0. \]

Sottraendo $V_0$ dalla tensione di griglia è possibile portare tutte le curve allo stesso punto di riferimento: \[ \Delta V = V_g-V_0. \]

Questo permette di verificare se le differenze osservate siano dovute soltanto a uno spostamento orizzontale. Come mostrerò, però, l’allineamento dello zero non è sufficiente: le curve possiedono anche scale orizzontali differenti.

Per questo motivo tratto separatamente i due lati della caratteristica. Sul ramo in cui la corrente di griglia è negativa introduco una scala $S_-$, mentre sul ramo positivo utilizzo una scala $S_+$: \[ X_-=\frac{V_g-V_0}{S_-} \]

e \[ X_+=\frac{V_g-V_0}{S_+}. \]

Le quantità $X_-$ e $X_+$ non sono tensioni: sono coordinate adimensionali. Servono a confrontare la forma delle curve dopo aver eliminato sia il loro spostamento sia la diversa estensione sull’asse delle tensioni.

A questo punto la domanda diventa molto concreta:

una volta eliminate le differenze di ampiezza, posizione e scala, le diverse famiglie del 2D21 diventano manifestazioni della stessa curva fondamentale?

La risposta non è identica sui due rami della caratteristica. Il ramo positivo mostra un comportamento molto vicino a una singola curva normalizzata comune, mentre sul ramo negativo rimangono differenze di forma piccole ma sistematiche, che richiedono alcuni parametri aggiuntivi per essere descritte.

I grafici successivi mostrano questo processo un passaggio alla volta. Per ciascuno indicherò la trasformazione matematica applicata, il suo significato geometrico e soprattutto ciò che il confronto fra le diverse famiglie mi permette di dedurre.

1. La prima normalizzazione: $Y=I_g/I_a$

Il primo passo consiste nel confrontare le diverse famiglie dopo aver eliminato la differenza più evidente: il fatto che ciascuna curva sia stata ottenuta a una corrente anodica $I_a$ differente.

Per ogni punto della caratteristica ho quindi diviso la corrente di griglia $I_g$ per la corrente anodica della famiglia corrispondente: \[ Y=\frac{I_g}{I_a}. \]

Il risultato è mostrato nel grafico seguente. Sull’asse orizzontale rimane ancora la tensione di griglia originale $V_g$, mentre sull’asse verticale non compare più la corrente di griglia in milliampere, ma il rapporto adimensionale $I_g/I_a$.

Famiglie di curve del thyratron 2D21 con corrente di griglia normalizzata rispetto alla corrente anodica, $Y=I_g/I_a$, in funzione della tensione di griglia. — Famiglie di corrente di griglia del 2D21 dopo la normalizzazione $Y=I_g/I_a$ . La trasformazione riduce gran parte della differenza verticale tra le curve, ma restano variazioni di forma e diversi punti di attraversamento dello zero.

Questa trasformazione può essere interpretata in modo semplice. Se la corrente di griglia variasse in proporzione diretta alla corrente anodica, cioè se raddoppiando $I_a$ raddoppiasse anche $I_g$ mantenendo invariata la forma della caratteristica, dividere per $I_a$ dovrebbe far coincidere le diverse famiglie.

Il grafico mostra che questo accade solo in parte.

Nel ramo a corrente di griglia negativa, le famiglie comprese fra 25 e 300 mA risultano molto più vicine tra loro rispetto a quanto apparirebbero considerando direttamente $I_g$. Una parte importante della variazione della corrente di griglia con la corrente anodica può quindi essere assorbita mediante la semplice normalizzazione $I_g/I_a$.

Questo è già un risultato utile: suggerisce che $I_a$ costituisca una scala naturale per confrontare le diverse caratteristiche. Non significa però che la corrente di griglia sia semplicemente proporzionale alla corrente anodica. Se così fosse, dopo la normalizzazione tutte le curve si sovrapporrebbero, cosa che chiaramente non avviene.

Osservo inoltre che la famiglia a 5 mA presenta un comportamento sensibilmente diverso. In particolare raggiunge valori negativi di $I_g/I_a$ più elevati in valore assoluto e, sul ramo positivo, si allontana nettamente dalle famiglie ottenute a correnti anodiche maggiori. Per questo motivo, nelle analisi successive, tratterò la curva a 5 mA con particolare attenzione come possibile regime di funzionamento a bassa corrente.

C’è però un’altra differenza immediatamente visibile. Le varie curve non attraversano $Y=0$ alla stessa tensione di griglia.

In altre parole, anche dopo aver eliminato gran parte della differenza verticale, le caratteristiche rimangono spostate orizzontalmente una rispetto all’altra. Questo suggerisce che il passo successivo debba essere quello di individuare, per ciascuna famiglia, la tensione $V_0$ alla quale la corrente di griglia cambia segno: \[ I_g(V_0)=0. \]

Nel grafico successivo mostro quindi cosa accade quando traslo ogni caratteristica utilizzando il proprio valore di $V_0$.

2. Allineare le curve al punto di zero: $\Delta V = V_g – V_0$

Dopo la normalizzazione verticale $Y=I_g/I_a$, le diverse famiglie risultano più confrontabili, ma rimane una differenza evidente: il punto in cui la corrente di griglia cambia segno non si trova alla stessa tensione per tutte le curve.

Per ogni famiglia individuo quindi la tensione $V_0$ tale che: \[ I_g(V_0)=0. \]

A questo punto introduco una nuova coordinata orizzontale: \[ \Delta V = V_g – V_0. \]

La trasformazione è semplicemente una traslazione dell’asse delle tensioni. Sposto ogni curva orizzontalmente del proprio valore di $V_0$, in modo che il punto in cui la corrente di griglia si annulla cada sempre in: \[ \Delta V = 0. \]

Famiglie normalizzate del thyratron 2D21 rappresentate in funzione di $\Delta V=V_g-V_0$, con i punti di corrente di griglia nulla allineati a zero. — Famiglie del 2D21 dopo la traslazione $\Delta V=V_g-V_0$ . Tutte le curve attraversano ora l’origine, ma rimangono differenze nella scala orizzontale e nella forma dei due rami.

Il significato geometrico del grafico è immediato: tutte le famiglie attraversano ora lo stesso punto $(\Delta V,Y)=(0,0)$.

Questa trasformazione permette di verificare un’ipotesi molto semplice: le curve potrebbero avere la stessa forma ed essere soltanto spostate lungo l’asse della tensione di griglia.

Se fosse così, dopo aver sottratto $V_0$ le diverse caratteristiche dovrebbero sovrapporsi quasi completamente.

Il grafico mostra invece che questo non accade.

L’allineamento dello zero elimina correttamente la differenza di posizione, ma le curve mantengono estensioni orizzontali differenti. Alcune raggiungono la stessa variazione di $Y$ con pochi decimi di volt, mentre altre richiedono variazioni di tensione più ampie.

Questo significa che $V_0$ descrive soltanto uno degli aspetti della famiglia: indica dove la corrente netta di griglia cambia segno, ma non determina da solo la velocità con cui la caratteristica evolve allontanandosi da quel punto.

Osservo inoltre che i due lati dello zero non sembrano comportarsi nello stesso modo. Il ramo con $Y<0$ e quello con $Y>0$ presentano scale e curvature differenti al variare della corrente anodica.

Questo suggerisce di non utilizzare una singola scala orizzontale per l’intera caratteristica, ma di trattare separatamente i due rami.

Per il ramo negativo introdurrò quindi una scala caratteristica $S_-$, mentre per quello positivo utilizzerò una scala distinta $S_+$.

Il passo successivo consiste nel verificare se, dopo aver normalizzato anche questa diversa scala orizzontale, le famiglie possano essere ricondotte a una forma comune.

3. Normalizzazione del ramo negativo: $X_-=(V_g-V_0)/S_-$

Dopo aver normalizzato la corrente di griglia rispetto alla corrente anodica e aver allineato tutte le curve al proprio punto di zero $V_0$, rimane ancora una differenza evidente: il ramo negativo non ha la stessa estensione orizzontale per tutte le famiglie.

Per confrontare meglio questa parte della caratteristica introduco quindi una scala di tensione specifica, che indico con $S_-$, e una nuova coordinata adimensionale: \[ X_-=\frac{V_g-V_0}{S_-}. \]

Non scelgo arbitrariamente il valore di $S_-$. Per ogni famiglia lo definisco in modo che il punto nel quale la corrente normalizzata vale $-0.01$ cada sempre nella stessa posizione: \[ Y=-0.01 \qquad\Longrightarrow\qquad X_-=-1. \]

In altre parole, oltre ad aver già portato tutte le curve a passare per $(0,0)$, con questa trasformazione fisso anche un secondo punto comune. Questo permette di eliminare gran parte della differenza di scala orizzontale fra le caratteristiche.

Ramo negativo delle famiglie del thyratron 2D21 rappresentato nelle coordinate normalizzate $X_-=(V_g-V_0)/S_-$ e $Y=I_g/I_a$. — Ramo negativo delle caratteristiche del 2D21 dopo la normalizzazione $X_-=(V_g-V_0)/S_-$ . La trasformazione elimina gran parte delle differenze di posizione e scala, ma rimangono variazioni sistematiche nella profondità e nella forma delle curve.

È importante ricordare che $X_-$ non rappresenta più una tensione espressa in volt. È una coordinata adimensionale: indica quanto mi sono allontanato da $V_0$ rispetto alla scala caratteristica $S_-$ della singola famiglia.

Per questo motivo alcune curve, e in particolare quella a 5 mA, raggiungono valori di $X_-$ numericamente molto grandi. Non significa che siano state applicate tensioni di centinaia di volt: significa semplicemente che, per quella famiglia, $S_-$ è molto piccolo rispetto all’intervallo di tensione percorso dalla curva.

A questo punto posso verificare un’ipotesi più forte rispetto a quella considerata nel grafico precedente. Dopo aver eliminato:

la scala verticale tramite $I_g/I_a$;
lo spostamento orizzontale tramite $V_0$;
la diversa scala orizzontale tramite $S_-$;

le curve del ramo negativo dovrebbero sovrapporsi se fossero semplicemente versioni riscalate di una stessa funzione.

Il grafico mostra che il risultato è molto migliore, ma la sovrapposizione non è completa.

Le diverse famiglie seguono chiaramente un andamento comune, ma rimangono differenze sistematiche sia nella profondità raggiunta dal ramo negativo sia nel modo in cui la curva passa dalla regione prossima allo zero verso la parte più lontana.

Questo è un risultato importante. Significa che la forma del ramo negativo non può essere descritta con una sola funzione universale di $X_-$ senza alcun altro parametro: \[ Y \neq G_-(X_-) \]

con la precisione richiesta dai dati.

L’analisi successiva ha mostrato che le differenze residue possono essere descritte in modo compatto introducendo due sole quantità geometriche.

La prima, indicata con $Q_A$, descrive la profondità verso cui tende il ramo negativo: \[ Q_A=-\lim_{X_-\rightarrow-\infty}G_-(X_-). \]

In termini intuitivi, $Q_A$ indica quindi il livello del plateau negativo normalizzato.

La seconda quantità, indicata con $U_{20}$, descrive invece quanto rapidamente la curva si sposta verso quel plateau. La definisco tramite il punto nel quale: \[ G_-(-U_{20})=-0.020. \]

$U_{20}$ può quindi essere letto direttamente come una misura della forma orizzontale della curva: indica quanto bisogna allontanarsi dallo zero, nella coordinata normalizzata $X_-$, per raggiungere $Y=-0.02$.

Il risultato non è quindi quello di una perfetta master curve negativa, ma qualcosa di comunque molto utile: le diverse famiglie possono essere ricondotte alla stessa struttura matematica utilizzando una scala $S_-$ e soltanto due parametri geometrici di forma, $Q_A$ e $U_{20}$.

Nel ramo positivo, come mostrerò nel prossimo grafico, il risultato è ancora più semplice: dopo la normalizzazione della scala orizzontale le diverse famiglie principali mostrano un collasso molto più completo.

4. Normalizzazione del ramo positivo: $X_+=(V_g-V_0)/S_+$

Sul ramo positivo applico la stessa idea utilizzata per quello negativo: dopo aver normalizzato la corrente e allineato tutte le curve al proprio valore di $V_0$, introduco una scala orizzontale specifica, che indico con $S_+$.

La nuova coordinata adimensionale è: \[ X_+=\frac{V_g-V_0}{S_+}. \]

Anche in questo caso definisco $S_+$ tramite un punto di riferimento comune. Per ogni famiglia scelgo la scala in modo che: \[ Y=+0.005 \qquad\Longrightarrow\qquad X_+=1. \]

In questo modo confronto tutte le curve positive dopo aver eliminato tre differenze principali:

la diversa scala verticale, tramite $Y=I_g/I_a$;
il diverso punto di zero, tramite $V_0$;
la diversa scala orizzontale, tramite $S_+$.

Ramo positivo delle famiglie del thyratron 2D21 rappresentato nelle coordinate normalizzate $X_+=(V_g-V_0)/S_+$ e $Y=I_g/I_a$. — Ramo positivo delle caratteristiche del 2D21 dopo la normalizzazione $X_+=(V_g-V_0)/S_+$ . Le famiglie principali da 25 a 200 mA mostrano una forma comune, mentre la curva a 5 mA presenta un comportamento nettamente differente.

Anche $X_+$ è una coordinata adimensionale e non una tensione espressa in volt. Il valore $X_+=1$ identifica semplicemente il punto scelto come riferimento per la normalizzazione del ramo positivo.

Il grafico mostra subito una particolarità: la famiglia a 5 mA occupa una regione molto più estesa delle altre, arrivando a valori di $X_+$ e di $Y$ sensibilmente maggiori.

Questo comportamento comprime visivamente le famiglie comprese fra 25 e 200 mA nella parte inferiore sinistra del grafico. È quindi importante non interpretare la scala complessiva dell’immagine come un’indicazione di una scarsa sovrapposizione fra queste curve.

Analizzando separatamente le famiglie principali, il risultato è infatti molto più forte rispetto al ramo negativo: una volta applicate le trasformazioni, le curve da 25 a 200 mA presentano una forma molto simile.

Questo significa che, nel ramo positivo, gran parte della dipendenza dalla corrente anodica può essere descritta semplicemente modificando $V_0$ e $S_+$, senza introdurre ulteriori parametri di forma differenti per ogni famiglia.

La struttura comune individuata può essere descritta mediante: \[ G_+(X_+;K) = 0.005\, \frac{e^{KX_+}-1}{e^K-1}, \]

dove $K$ determina la curvatura della funzione.

Per il 2D21 l’analisi globale delle famiglie principali porta a: \[ K \approx 0.551. \]

Il significato di questo risultato è particolarmente importante: per le famiglie da 25 a 200 mA non è stato necessario assegnare un valore diverso di $K$ a ciascuna curva. Una sola forma matematica, combinata con i rispettivi valori di $V_0$ e $S_+$, descrive bene l’intero gruppo.

In altre parole, il ramo positivo si comporta molto vicino a una vera master curve: curve ottenute a correnti anodiche differenti possono essere riportate alla stessa forma mediante semplici trasformazioni di posizione e scala.

La famiglia a 5 mA continua invece a mostrare un comportamento differente. Per questo motivo non è stata utilizzata per determinare la struttura principale del modello ed è stata mantenuta come possibile regime di funzionamento a bassa corrente.

Nel grafico non compare inoltre la famiglia a 300 mA. Il motivo è legato direttamente alla definizione di $S_+$: nei dati disponibili questa curva non raggiunge il livello $Y=+0.005$, quindi il punto necessario per determinare geometricamente $S_+$ non è presente.

Posso stimare successivamente il valore di $S_+$ per la famiglia a 300 mA utilizzando il modello, ma non lo considero una quantità ricavata direttamente dal punto di normalizzazione.

Il confronto fra i due rami porta quindi a un risultato interessante. Sul ramo negativo rimangono due variazioni geometriche aggiuntive, descritte da $Q_A$ e $U_{20}$; sul ramo positivo, invece, le famiglie principali possono essere ricondotte a una singola forma con un solo parametro di curvatura comune $K$.

5. Cosa ho imparato dalle trasformazioni

I quattro passaggi precedenti permettono finalmente di vedere la famiglia di caratteristiche del 2D21 in modo diverso rispetto alle curve originali del datasheet.

Il primo risultato è che le diverse curve non sembrano essere caratteristiche completamente indipendenti. Una parte importante delle loro differenze può essere eliminata mediante semplici trasformazioni di scala e posizione.

La normalizzazione

\[ Y=\frac{I_g}{I_a} \]

mostra che la corrente anodica $I_a$ costituisce una buona scala verticale: le famiglie principali diventano molto più confrontabili quando la corrente di griglia la esprimo come frazione della corrente anodica.

Il successivo allineamento tramite $V_0$ elimina invece la differenza nella posizione del punto in cui la corrente di griglia cambia segno:

\[ I_g(V_0)=0. \]

Anche dopo questa trasformazione, però, le curve mantengono estensioni orizzontali differenti. Questo ha portato a introdurre due scale separate, $S_-$ e $S_+$, rispettivamente per il ramo negativo e per quello positivo.

È proprio a questo punto che i due lati della caratteristica mostrano un comportamento differente.

Sul ramo positivo, una volta applicate le trasformazioni

\[ Y=\frac{I_g}{I_a}, \qquad X_+=\frac{V_g-V_0}{S_+}, \]

le famiglie principali comprese fra 25 e 200 mA possono essere ricondotte con buona precisione a una stessa forma matematica. In questo caso la maggior parte della dipendenza dalla corrente anodica sembra quindi essere contenuta nei parametri $V_0$ e $S_+$, mentre la forma residua della curva rimane sostanzialmente comune.

Il ramo negativo presenta invece una situazione leggermente più complessa. La trasformazione

\[ X_-=\frac{V_g-V_0}{S_-} \]

porta anche queste curve molto più vicine fra loro, ma non produce una sovrapposizione completa. Rimangono differenze sistematiche nella profondità del ramo negativo e nel modo in cui la curva raggiunge tale regione.

L’analisi ha mostrato che queste differenze possono essere descritte con due sole quantità geometriche aggiuntive: $Q_A$, che caratterizza il livello del plateau negativo normalizzato, e $U_{20}$, che descrive la posizione della curva al livello $Y=-0.02$.

Il risultato complessivo è quindi più semplice di quanto possa apparire osservando direttamente le caratteristiche originali.

Le diverse famiglie non richiedono necessariamente una formula completamente indipendente per ogni valore di $I_a$. Possono invece essere descritte attraverso una struttura comune, nella quale cambiano un numero relativamente piccolo di parametri geometrici.

In forma concettuale, il risultato può essere riassunto così:

\[ \text{curva originale} \;\longrightarrow\; \text{scala verticale} \;\longrightarrow\; \text{zero comune} \;\longrightarrow\; \text{scala orizzontale} \;\longrightarrow\; \text{forma residua}. \]

La parte più importante di questo procedimento non è quindi aver trovato una trasformazione capace di far apparire le curve più simili, ma aver identificato quali caratteristiche cambiano realmente da una famiglia all’altra e quali, invece, possono essere ricondotte a una struttura matematica comune.

A questo punto posso utilizzare questi risultati per costruire un modello compatto della corrente di griglia del 2D21. Nel prossimo passaggio riunirò le trasformazioni geometriche appena introdotte in una singola formulazione matematica e verificherò quanto accuratamente essa riesca a riprodurre le caratteristiche da cui l’ho ricavata.

Il modello compatto della corrente di griglia del 2D21

Le trasformazioni viste nella sezione precedente hanno permesso di separare progressivamente le differenze di scala e posizione dalle differenze reali nella forma delle caratteristiche.

A questo punto è possibile raccogliere i risultati in un unico modello matematico della corrente di griglia del 2D21.

L’idea di fondo è abbastanza semplice: invece di costruire una formula indipendente per ogni valore della corrente anodica, utilizzo una stessa struttura matematica e lascio che siano pochi parametri geometrici a descrivere le differenze fra le varie famiglie.

Esprimo prima la corrente di griglia nella forma normalizzata: \[ Y=\frac{I_g}{I_a}. \]

Il punto $V_0$ divide naturalmente la caratteristica in due regioni:

per $V_g \leq V_0$, la corrente di griglia è negativa;
per $V_g > V_0$, la corrente di griglia è positiva.

I due rami utilizzano coordinate normalizzate differenti: \[ X_-=\frac{V_g-V_0}{S_-} \]

per il ramo negativo, e \[ X_+=\frac{V_g-V_0}{S_+} \]

per quello positivo.

Il modello completo può quindi essere scritto, in forma compatta, come: \[ I_g(V_g,I_a)= I_a \begin{cases} G_-\!\left(X_-;Q_A,U_{20}\right), & V_g\leq V_0 \\[3mm] G_+\!\left(X_+;K\right), & V_g>V_0. \end{cases} \]

Questa espressione può sembrare più complessa di quanto sia realmente. In pratica afferma soltanto che la corrente di griglia è ottenuta moltiplicando la corrente anodica $I_a$ per una funzione normalizzata, la cui forma dipende dal lato della caratteristica che sto considerando.

Sul ramo positivo la situazione è particolarmente semplice: dopo aver corretto la posizione mediante $V_0$ e la scala mediante $S_+$, le famiglie principali del 2D21 possono essere descritte da una sola forma matematica con un unico parametro di curvatura $K$.

Sul ramo negativo rimangono invece due variazioni geometriche aggiuntive. Il parametro $Q_A$ descrive la profondità del plateau negativo, mentre $U_{20}$ descrive il modo in cui la curva si sviluppa fra lo zero e tale regione.

È importante sottolineare che questo modello non è stato costruito cercando semplicemente la funzione con il minor errore possibile. Durante l’analisi ho provato formulazioni più flessibili, ma le ho scartate quando il miglioramento numerico richiedeva parametri poco identificabili o difficili da interpretare.

La versione adottata rappresenta quindi un compromesso deliberato fra precisione, semplicità e stabilità dei parametri.

Per il momento considero il risultato un modello compatto del 2D21. Il fatto che la struttura possa eventualmente essere trasferita ad altri thyratron è una possibilità da verificare separatamente e non la assumo nella costruzione del modello.

Nei paragrafi successivi analizzeremo separatamente le due funzioni $G_+$ e $G_-$, partendo dal ramo positivo, che presenta la struttura matematica più semplice.

Il ramo positivo: una master curve

Il ramo positivo è la parte del modello che ha mostrato il comportamento più semplice. Dopo aver normalizzato la corrente di griglia rispetto alla corrente anodica e aver trasformato l’asse delle tensioni mediante $V_0$ e $S_+$, le famiglie principali del 2D21 possono essere descritte con una sola funzione matematica.

La coordinata utilizzata è: \[ X_+=\frac{V_g-V_0}{S_+}, \]

mentre la corrente rimane espressa nella forma normalizzata: \[ Y=\frac{I_g}{I_a}. \]

La funzione scelta per descrivere il ramo positivo è: \[ \boxed{ G_+(X_+;K)= 0.005\, \frac{e^{KX_+}-1}{e^K-1} } \]

e quindi calcolo la corrente di griglia positiva come: \[ \boxed{ I_{g,+} = I_a\, 0.005\, \frac{ \exp\!\left[ K\frac{V_g-V_0}{S_+} \right]-1 }{ e^K-1 } } \]

Per il 2D21 il valore ottenuto dal fit globale delle famiglie principali è: \[ \boxed{K \approx 0.551}. \]

La presenza del fattore $0.005$ non ha un significato fisico particolare. Deriva dalla convenzione che utilizzo per definire $S_+$: scelgo la scala in modo che il punto \[ Y=0.005 \]

corrisponda sempre a: \[ X_+=1. \]

La formula soddisfa infatti automaticamente: \[ G_+(0)=0 \]

e \[ G_+(1)=0.005. \]

Il primo vincolo garantisce che il ramo positivo inizi esattamente nel punto $V_g=V_0$, dove la corrente di griglia cambia segno. Il secondo fissa invece la scala orizzontale e impedisce che una variazione arbitraria di $S_+$ possa essere compensata modificando la forma della funzione.

Il parametro $K$ controlla la curvatura della caratteristica. Se $K$ cambiasse molto da una famiglia all’altra, sarebbe necessario introdurre una forma differente per ciascun valore della corrente anodica. L’analisi mostra invece che, per le famiglie comprese fra 25 e 200 mA, un unico valore di $K$ descrive bene l’intero gruppo.

Questo è il motivo per cui il ramo positivo può essere interpretato come una master curve: non descrivo le diverse caratteristiche con formule differenti, ma mediante la stessa funzione $G_+$, modificando soltanto la posizione $V_0$ e la scala orizzontale $S_+$.

In termini geometrici, il modello separa quindi tre aspetti diversi:

$V_0$ stabilisce dove la corrente di griglia cambia segno;
$S_+$ determina la scala di tensione del ramo positivo;
$K$ determina la forma della curva normalizzata.

Un aspetto interessante emerso durante l’analisi è che una precedente parametrizzazione basata su due quantità indipendenti, indicate come $D_0$ e $\kappa$, mostrava una correlazione molto forte fra i due parametri. La trasformazione tramite $S_+$ ha permesso di mostrare che gran parte di questa apparente dipendenza era in realtà riconducibile a una sola scala orizzontale.

Una volta fissato $K$, i due parametri possono infatti essere ricavati da $S_+$ anziché essere stimati indipendentemente: \[ \kappa=\frac{K}{S_+} \]

e \[ D_0= \frac{0.005\,I_a}{S_+} \frac{K}{e^K-1}. \]

Per $K\approx0.551$, il termine \[ \frac{K}{e^K-1} \]

vale circa $0.75$. Questo mostra che $D_0$ e $\kappa$ non costituiscono due gradi di libertà completamente indipendenti: entrambi dipendono dalla stessa scala $S_+$.

Questa riduzione è importante perché rende il modello più semplice e più stabile. Invece di adattare separatamente più parametri fortemente correlati, descrivo la geometria della caratteristica attraverso una scala direttamente osservabile e un solo parametro globale di curvatura.

Il comportamento a 5 mA rimane particolare e non è stato utilizzato per determinare questa master curve. Anche la famiglia a 300 mA richiede cautela: nei dati disponibili non raggiunge il livello $Y=0.005$, quindi il relativo $S_+$ non può essere misurato direttamente tramite la convenzione utilizzata e lo inferisco dal modello.

Per le famiglie principali, tuttavia, il risultato è netto: il ramo positivo del 2D21 può essere descritto mediante una sola funzione normalizzata, lasciando a $V_0$ e $S_+$ il compito di adattarla alle diverse correnti anodiche.

Il ramo negativo richiede invece una struttura leggermente più articolata. La normalizzazione mediante $S_-$ riduce fortemente le differenze fra le curve, ma non le elimina del tutto; per descrivere ciò che rimane sono necessari due parametri geometrici aggiuntivi.

Il ramo negativo: una struttura comune con due parametri di forma

Il ramo negativo richiede una descrizione leggermente più articolata rispetto a quello positivo.

Dopo aver introdotto la coordinata normalizzata \[ X_-=\frac{V_g-V_0}{S_-}, \]

le diverse famiglie del 2D21 risultano molto più vicine fra loro, ma non collassano completamente su una singola curva.

Questo significa che $V_0$ e $S_-$ eliminano gran parte delle differenze di posizione e scala, ma rimangono ancora variazioni reali nella forma del ramo negativo.

L’analisi ha mostrato che queste variazioni possono essere descritte con due sole coordinate geometriche aggiuntive:

$Q_A$, che descrive la profondità del plateau negativo;
$U_{20}$, che descrive la posizione della curva al livello normalizzato
$Y=-0.020$.

La funzione scelta per il ramo negativo è: \[ \boxed{ G_-(X_-;Q_A,U_{20}) = -Q_A+\sum_{j=1}^{3}A_j e^{\lambda_j X_-} } \]

con: \[ \boxed{ (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = (0.060,\;0.240,\;0.960) } \]

I tre coefficienti esponenziali seguono quindi una progressione: \[ 1:4:16. \]

È importante però osservare che i coefficienti $A_1$, $A_2$ e $A_3$ non sono tre ulteriori parametri liberi del modello.

Li determino automaticamente imponendo tre condizioni geometriche: \[ G_-(0)=0, \] \[ G_-(-1)=-0.01, \]

e \[ G_-(-U_{20})=-0.020. \]

In forma matriciale: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ e^{-\lambda_1} & e^{-\lambda_2} & e^{-\lambda_3} \\ e^{-\lambda_1U_{20}} & e^{-\lambda_2U_{20}} & e^{-\lambda_3U_{20}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_1\\ A_2\\ A_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Q_A\\ Q_A-0.01\\ Q_A-0.02 \end{bmatrix}. \]

Di conseguenza, una volta noti $Q_A$ e $U_{20}$, i tre coefficienti $A_j$ sono completamente determinati.

Questo è un punto importante per mantenere il modello compatto: il ramo negativo non utilizza cinque coefficienti indipendenti, ma soltanto due parametri geometrici specifici della famiglia.

Il significato di $Q_A$

Il parametro $Q_A$ è definito come: \[ Q_A= -\lim_{X_-\rightarrow-\infty}G_-(X_-). \]

Rappresenta quindi il valore verso cui tende la corrente di griglia normalizzata nella parte più profonda del ramo negativo.

Geometricamente può essere interpretato come la profondità del plateau: famiglie con valori differenti di $Q_A$ raggiungono livelli negativi differenti anche dopo aver normalizzato posizione e scala.

Il significato di $U_{20}$

Definisco il parametro $U_{20}$ tramite: \[ G_-(-U_{20})=-0.020. \]

Indica quindi a quale distanza normalizzata dal punto di zero la curva raggiunge il livello $Y=-0.02$.

Due famiglie possono avere un plateau finale simile ma raggiungerlo con curvature differenti. $U_{20}$ permette di descrivere proprio questa seconda variazione di forma.

Perché tre esponenziali?

Durante l’identificazione ho provato forme più libere, nelle quali anche le tre costanti esponenziali venivano determinate direttamente dal fit.

La soluzione completamente libera portava approssimativamente a: \[ (0.0499,\;0.2205,\;0.9735), \]

ma i parametri che controllavano la scala e il rapporto fra i tre termini risultavano fortemente correlati e quindi poco identificabili.

Per rendere la formulazione più stabile è stata quindi adottata una struttura regolarizzata: \[ (0.060,\;0.240,\;0.960), \]

che conserva praticamente la stessa capacità descrittiva ma riduce i gradi di libertà scarsamente determinati dai dati.

Il costo numerico della semplificazione è piccolo, mentre il vantaggio in termini di stabilità e possibilità di confronto fra famiglie è significativo.

Il modello minimo necessario

Ho confrontato tre possibilità:

una sola forma negativa comune a tutte le famiglie;
una forma con un solo parametro geometrico variabile;
una forma con due parametri geometrici variabili, $Q_A$ e $U_{20}$.

La prima ipotesi non riesce a descrivere adeguatamente le differenze residue fra le curve. Anche un solo parametro di forma risulta insufficiente per alcune famiglie.

L’introduzione di $Q_A$ e $U_{20}$ rappresenta invece il livello minimo di complessità che porta gli errori nell’ordine della dispersione osservata nei dati, senza aggiungere ulteriori gradi di libertà non giustificati.

Non è stato quindi introdotto un terzo parametro di forma, anche se avrebbe potuto migliorare ulteriormente il fit del solo 2D21.

La scelta è intenzionale: l’obiettivo non è ottenere il minor errore possibile su questo singolo dispositivo, ma mantenere una struttura abbastanza semplice da poter essere sottoposta in seguito a verifiche indipendenti.

Calcolo quindi la corrente di griglia negativa come: \[ \boxed{ I_{g,-} = I_a\, G_-\!\left( \frac{V_g-V_0}{S_-}; Q_A,U_{20} \right) } \]

per $V_g\leq V_0$.

Insieme alla master curve positiva, questa funzione completa la struttura matematica del modello Level-1 del 2D21.

Verifica quantitativa del modello Level-1

Una formula compatta è utile soltanto se riesce a descrivere i dati con un errore compatibile con la loro qualità reale. Per questo motivo il modello non è stato valutato soltanto osservando quanto bene le curve si sovrappongano visivamente, ma anche attraverso residui, stabilità dei parametri e diversi test di robustezza.

La verifica è stata eseguita separatamente sulle diverse famiglie di corrente anodica, confrontando la caratteristica ricostruita dal modello con le curve di consenso ottenute dalla digitalizzazione.

Quando disponibile, l’errore è stato confrontato anche con $\sigma_{\mathrm{total}}$, cioè con la dispersione stimata durante l’analisi delle digitalizzazioni replicate.

È importante ricordare che i circa 300 punti utilizzati per rappresentare ogni curva costituiscono una griglia numerica fitta e non 300 misure statisticamente indipendenti. Per questo motivo i residui normalizzati sono utilizzati come indicatore della scala dell’errore, ma non li interpreto come un vero $\chi^2$ ridotto.

Accuratezza del ramo negativo

Per il ramo negativo, la formulazione con due parametri geometrici $Q_A$ e $U_{20}$ fornisce i seguenti risultati:

$I_a$	RMSE	RMS del residuo / $\sigma_{\mathrm{total}}$
25 mA	0.0064 mA	0.53
50 mA	0.0108 mA	0.93
100 mA	0.0239 mA	1.98
150 mA	0.0260 mA	1.83
200 mA	0.0157 mA	0.86
300 mA	0.1049 mA	1.24

Nel complesso, l’errore normalizzato aggregato del ramo negativo è circa $1.33\,\sigma$.

Le famiglie a 100 e 150 mA restano quelle più difficili da descrivere e mostrano ancora una certa struttura sistematica nei residui. L’errore assoluto rimane comunque molto piccolo, dell’ordine di poche centinaia di microampere.

Questo è anche il motivo per cui non è stato introdotto un terzo parametro di forma: avrebbe certamente ridotto ulteriormente il residuo sul 2D21, ma non esistono ancora elementi sufficienti per stabilire che tale parametro rappresenterebbe una proprietà reale e trasferibile del dispositivo anziché una semplice correzione del fit.

Stabilità rispetto alla densità dei punti

Un possibile problema nell’uso di curve digitalizzate molto fitte è che il risultato possa dipendere artificialmente dal numero di punti interpolati. Per verificare questo aspetto il fit è stato ripetuto riducendo progressivamente la densità della griglia.

Ho utilizzato versioni contenenti circa un punto ogni 2, 3, 5 e 10 punti della griglia originale, passando quindi grossolanamente da circa 300 a circa 30 punti per famiglia.

Per le famiglie comprese fra 25 e 200 mA:

$Q_A$ varia di meno dello 0.2%;
$U_{20}$ varia di meno dello 0.3%;
le metriche di errore rimangono praticamente invariate.

Questo indica che la soluzione non è un artefatto della densità numerica della griglia utilizzata per rappresentare le curve.

Quanto conta la porzione di curva disponibile?

Il parametro $U_{20}$ è determinabile direttamente perché corrisponde a un livello della curva normalmente presente nei dati.

La situazione è diversa per $Q_A$, che rappresenta invece il valore asintotico del plateau negativo: \[ Q_A=-\lim_{X_-\rightarrow-\infty}G_-(X_-). \]

Se una caratteristica non si estende sufficientemente nella regione negativa, non osservo direttamente il plateau e $Q_A$ diventa inevitabilmente più dipendente dalla forma assunta dal modello.

Questo problema è particolarmente evidente nella famiglia a 300 mA, che copre un intervallo negativo più limitato. In questo caso $U_{20}$ rimane direttamente osservabile, mentre considero $Q_A$ più debolmente identificato.

Leave-one-family-out della struttura del ramo negativo

Per verificare la stabilità della struttura a tre termini esponenziali è stata ripetuta la determinazione della forma con una prova leave-one-family-out su quattro famiglie rappresentative, escludendo a turno la curva sottoposta a verifica.

La famiglia esclusa è stata poi descritta mantenendo congelata la struttura e lasciando liberi soltanto i suoi due parametri geometrici $Q_A$ e $U_{20}$.

Famiglia esclusa	RMS residuo / $\sigma_{\mathrm{total}}$
25 mA	0.50
100 mA	2.48
200 mA	0.72
300 mA	1.25

La famiglia a 100 mA rimane la più difficile. Nel complesso, però, la struttura a tre termini esponenziali rimane sufficientemente stabile quando una singola famiglia dall’identificazione. Il test supporta quindi la robustezza della forma scelta, senza attribuire ai tre termini un significato fisico specifico.

Continuità nel punto $V_0$

Il modello è costruito in modo che i due rami si incontrino esattamente nel punto in cui la corrente di griglia cambia segno: \[ G_-(0)=G_+(0)=0. \]

La corrente è quindi continua in $V_0$.

È stata verificata anche un’ipotesi più forte: richiedere che la derivata fosse continua, cioè che i due rami avessero anche la stessa pendenza nel punto di giunzione.

Per il ramo negativo: \[ D_-= \frac{I_a}{S_-}G_-‘(0), \]

mentre per quello positivo: \[ D_+= \frac{I_a}{S_+}G_+'(0). \]

Le pendenze risultano relativamente vicine in alcune famiglie, ma non in tutte. Imponendo matematicamente l’uguaglianza esatta delle due derivate, la qualità del fit peggiora drasticamente.

Mantengo quindi il modello: \[ \boxed{\text{continuo in }V_0\text{, ma non necessariamente con derivata continua}} \]

Non interpreto automaticamente questa proprietà come una vera discontinuità microscopica del fenomeno fisico. Più semplicemente, il compact model utilizza due descrizioni differenti dei regimi a corrente di griglia negativa e positiva.

La famiglia a 5 mA

La curva a 5 mA non è stata utilizzata per determinare la struttura principale del modello perché presenta un comportamento sensibilmente diverso dalle famiglie a correnti maggiori.

Applicando comunque la stessa funzione negativa e lasciando liberi soltanto $Q_A$ e $U_{20}$, ottengo: \[ Q_A\approx0.044, \qquad U_{20}\approx3.07, \]

con: \[ RMSE\approx0.0146\ \mathrm{mA} \]

e un residuo normalizzato RMS di circa: \[ 1.42\,\sigma. \]

Il risultato indica che non è necessario introdurre immediatamente una formula completamente diversa per la famiglia a 5 mA, ma i suoi parametri risultano nettamente spostati rispetto alle famiglie principali e nei residui rimane una struttura sistematica che invita a trattarla con cautela.

Per questo motivo la mantengo come possibile regime di funzionamento a bassa corrente, senza utilizzarla per determinare la struttura globale del modello.

La famiglia a 300 mA

La famiglia a 300 mA rappresenta un altro caso particolare.

Ho ripetuto la sua digitalizzazione perché una prima versione presentava un errore nella parte superiore della caratteristica. La nuova curva possiede inoltre una dispersione significativamente maggiore rispetto alle altre famiglie.

Nel ramo positivo non raggiunge il livello utilizzato per definire direttamente $S_+$: \[ Y=+0.005. \]

Inferisco quindi il valore di $S_+$ dalla forma del modello anziché misurarlo direttamente attraverso la convenzione di normalizzazione.

Anche $Q_A$ è meno ben determinato perché il ramo negativo non si estende abbastanza da mostrare chiaramente il plateau asintotico.

La famiglia rimane comunque utile come verifica della forma matematica: nonostante queste limitazioni, il modello continua a descriverla con un errore dello stesso ordine della dispersione dei dati.

Che cosa posso quindi considerare verificato?

I test effettuati mostrano che il modello Level-1 non è semplicemente una curva disegnata sui punti digitalizzati.

La struttura rimane stabile quando riduco la densità della griglia, mantiene una buona capacità descrittiva quando escludo alcune famiglie dalla determinazione della forma e utilizza un numero limitato di parametri geometrici direttamente interpretabili.

Allo stesso tempo, i test hanno evidenziato chiaramente anche i suoi limiti: alcune famiglie sono più difficili da descrivere, alcuni parametri diventano debolmente identificati quando il datasheet non mostra una porzione sufficiente della caratteristica e non esiste ancora una legge affidabile che permetta di ricavare automaticamente tutti i parametri dalla sola corrente anodica.

Mantengo quindi la versione 0.1 come modello compatto Level-1 delle famiglie osservate del 2D21, senza estenderne artificialmente il dominio oltre ciò che è supportato dai dati.

Posso prevedere i parametri a una corrente non osservata?

Una volta ottenuto il modello compatto, ho voluto verificare se fosse possibile compiere un passo ulteriore: non limitarsi a descrivere le famiglie già presenti nel datasheet, ma prevedere i parametri del modello a un valore di corrente anodica non utilizzato per determinarli.

È importante distinguere questo problema dalla validità della formula descritta nelle sezioni precedenti.

Il modello Level-1 utilizza, per ogni famiglia, un insieme di parametri: \[ V_0,\qquad S_-,\qquad S_+,\qquad Q_A,\qquad U_{20}. \]

Conoscendo questi parametri, il modello permette di ricostruire la caratteristica $I_g(V_g)$ della relativa famiglia. Una questione diversa è chiedersi se tali parametri possano essere a loro volta ricavati direttamente dalla corrente anodica: \[ V_0(I_a),\qquad S_-(I_a),\qquad S_+(I_a),\qquad Q_A(I_a),\qquad U_{20}(I_a). \]

Se ciò fosse possibile, il modello potrebbe essere utilizzato anche per interpolare caratteristiche a valori di $I_a$ non esplicitamente presenti nei dati originali.

Un test leave-one-family-out

Per verificare questa possibilità ho utilizzato una procedura leave-one-family-out, o LOFO.

Il principio è semplice: escludo una famiglia dai dati, determino la legge del parametro utilizzando soltanto le famiglie rimanenti e infine calcolo quale valore il modello avrebbe previsto per la famiglia esclusa.

Per esempio, quando verifico la famiglia a 100 mA, non utilizzo il valore reale a 100 mA per determinare la legge. Ottengo la previsione soltanto utilizzando le altre correnti disponibili.

Questo test è più severo del semplice confronto fra una funzione e gli stessi punti utilizzati per determinarla. Una curva può infatti adattarsi molto bene ai dati di partenza e, nello stesso tempo, comportarsi male quando le chiedo di prevedere un punto che non ha visto.

Il comportamento di $V_0$

Per il parametro $V_0$ ho confrontato diverse leggi semplici. Una relazione lineare descriveva la tendenza generale ma lasciava residui sistematici. Un polinomio quadratico migliorava sensibilmente il fit sui cinque punti disponibili, ma nel test leave-one-family-out mostrava una capacità predittiva peggiore, soprattutto agli estremi dell’intervallo.

Fra le forme che ho provato, ho ottenuto il risultato migliore con una legge razionale saturante della forma: \[ V_0(I_a) = a+b\,\frac{I_a}{c+I_a}. \]

Nel test LOFO gli errori rimangono dell’ordine di alcune decine di millivolt. Le famiglie interne all’intervallo risultano generalmente più facili da prevedere, mentre l’esclusione delle famiglie estreme costituisce un test più severo perché costringe il modello a estrapolare.

Errore leave-one-family-out nella previsione del parametro V0 del thyratron 2D21 mediante una legge razionale saturante in funzione della corrente anodica. — Errore leave-one-family-out nella previsione di V₀. Ogni punto rappresenta l’errore ottenuto escludendo una famiglia dal fit e prevedendola utilizzando soltanto le famiglie rimanenti.

Il risultato suggerisce quindi che $V_0$ possieda una dipendenza abbastanza regolare dalla corrente anodica da poter essere rappresentata con una legge continua. Nei fold agli estremi inferiori dell’intervallo l’ottimizzatore ha però segnalato anche problemi di convergenza: la forma razionale va quindi considerata provvisoria. Il numero di famiglie disponibili rimane inoltre limitato, per cui questa relazione è una descrizione promettente del 2D21 e non una legge generale già dimostrata.

Il caso di $S_-$

Ho trovato più difficile descrivere il comportamento di $S_-$.

I valori osservati non seguono un andamento semplicemente crescente o decrescente: $S_-$ aumenta inizialmente con la corrente anodica, raggiunge una regione di massimo e successivamente diminuisce.

Una legge costante è chiaramente insufficiente. Ho quindi provato una legge quadratica, cioè il modello più semplice disponibile capace di rappresentare una salita seguita da una discesa: \[ S_-(I_a)=c_0+c_1I_a+c_2I_a^2. \]

Utilizzando contemporaneamente tutte le famiglie, la curva quadratica riproduce abbastanza bene l’andamento generale dei punti. Il risultato cambia però quando passo alla validazione leave-one-family-out.

Escludendo una famiglia alla volta, gli errori sulla previsione di $S_-$ crescono sensibilmente. In particolare, per alcune correnti la previsione differisce dal valore osservato di diverse decine di millivolt e, nel caso peggiore, l’errore si avvicina alla metà del valore reale del parametro.

Grafico leave-one-family-out dei parametri V0 e S meno del thyratron 2D21; il pannello inferiore mostra l'errore della previsione quadratica di S meno. — Validazione leave-one-family-out dei parametri del modello. Nel pannello inferiore mostro come la legge quadratica di $S_-(I_a)$ produca errori significativi quando escludo le singole famiglie dal fit, evidenziando una capacità predittiva limitata.

La legge quadratica riesce a rappresentare geometricamente la forma dei cinque valori osservati, ma il test LOFO indica che quella forma non è abbastanza stabile da essere utilizzata con sicurezza per ricavare $S_-$ a una corrente anodica arbitraria.

È un risultato importante perché mostra la differenza fra descrivere i punti disponibili e prevedere un punto non utilizzato nel fit.

Anche il confronto con una semplice legge costante non ha fornito una soluzione soddisfacente. Con i dati attualmente disponibili non emerge quindi una legge continua semplice e sufficientemente robusta per $S_-(I_a)$.

Cosa significa per il modello

Questo risultato non indica che il modello compatto della corrente di griglia sia errato.

La distinzione fondamentale è fra il modello della singola caratteristica: \[ I_g = F\!\left( V_g,I_a; V_0,S_-,S_+,Q_A,U_{20} \right) \]

e le eventuali leggi che dovrebbero permettere di prevederne automaticamente i parametri: \[ V_0(I_a),\quad S_-(I_a),\quad S_+(I_a),\quad Q_A(I_a),\quad U_{20}(I_a). \]

Il primo problema è quello affrontato nella costruzione del modello Level-1: una volta conosciuti i parametri della famiglia, la formula descrive la relativa caratteristica.

Il secondo è un problema ulteriore: richiede che i parametri stessi seguano leggi sufficientemente regolari da poter essere previsti a valori di corrente anodica non osservati.

I test effettuati mostrano che almeno $V_0$ presenta una struttura promettente, mentre per $S_-$ le cinque famiglie principali disponibili non sono sufficienti a identificare una legge predittiva semplice e robusta.

Di conseguenza, nella versione 0.1 del modello i parametri $V_0$, $S_-$, $S_+$, $Q_A$ e $U_{20}$ rimangono parametri specifici della singola famiglia.

Il modello può quindi essere utilizzato per ricostruire e analizzare le caratteristiche per le quali ho determinato questi parametri, ma non estendo ancora artificialmente il modello a una superficie continua $I_g(V_g,I_a)$ capace di generare qualsiasi corrente anodica intermedia.

Questa scelta è deliberatamente conservativa. Invece di introdurre funzioni più complesse soltanto per interpolare cinque punti, preferisco mantenere esplicito il limite attuale del modello e separare ciò che è supportato dai dati da ciò che richiederebbe ulteriori informazioni.

È importante non confondere questo risultato con una verifica negativa del modello Level-1. In questa prova non sto chiedendo alla funzione $G_-$ di riprodurre una curva di cui conosco i parametri: sto facendo qualcosa di più difficile, cioè sto cercando di prevedere quei parametri utilizzando esclusivamente la corrente anodica e le altre famiglie disponibili.

Il fatto che $S_-$ non venga previsto con sufficiente precisione significa quindi che non è ancora stata trovata una legge affidabile $S_-(I_a)$. Non significa che il parametro $S_-$, una volta determinato dalla famiglia considerata, non permetta al modello Level-1 di descriverne correttamente la caratteristica.

Questo esperimento stabilisce quindi un limite preciso della versione attuale: il modello descrive le famiglie mediante parametri specifici di ciascuna famiglia, ma non è ancora un modello continuo completo capace di ricavare automaticamente tutti quei parametri dalla sola $I_a$.

Interpretazione fisica e limiti del modello

Finora ho costruito il modello partendo dalla geometria delle curve e dalla loro capacità di collassare, almeno parzialmente, dopo opportune trasformazioni. Questo approccio permette di ottenere una descrizione matematica compatta senza dover assumere in anticipo un particolare meccanismo microscopico.

A questo punto è però naturale chiedersi se i parametri introdotti possano essere collegati al funzionamento fisico del thyratron.

È importante distinguere con chiarezza tre livelli diversi:

ciò che è definito direttamente dal modello e quindi è matematicamente certo;
ciò che è compatibile con la fisica generale di un tubo a gas;
ciò che richiederebbe ulteriori dati sperimentali o un modello fisico più dettagliato.

Ciò che il modello stabilisce direttamente

Il parametro $V_0$ è definito come il valore della tensione di griglia per il quale la corrente di griglia cambia segno: \[ I_g(V_0)=0. \]

Non è quindi necessario attribuirgli immediatamente un significato microscopico specifico. Nel modello rappresenta semplicemente il punto di equilibrio fra il regime a corrente di griglia negativa e quello a corrente positiva.

Le quantità $S_-$ e $S_+$ sono invece scale di tensione. Servono a trasformare la distanza da $V_0$ in due coordinate normalizzate: \[ X_-=\frac{V_g-V_0}{S_-}, \qquad X_+=\frac{V_g-V_0}{S_+}. \]

Valori differenti di $S_-$ o $S_+$ indicano quindi che una famiglia deve essere compressa o dilatata maggiormente lungo l’asse della tensione per assumere una forma confrontabile con le altre.

Il parametro $Q_A$ ha una definizione altrettanto precisa: \[ Q_A= -\lim_{X_-\rightarrow-\infty}G_-(X_-). \]

Esso rappresenta la profondità asintotica del ramo negativo normalizzato. Analogamente, $U_{20}$ è la posizione normalizzata alla quale il ramo negativo raggiunge: \[ G_-(-U_{20})=-0.020. \]

Questi significati sono proprietà geometriche del modello e non dipendono da una particolare interpretazione fisica.

Una possibile lettura fisica

Durante la conduzione anodica, nelle condizioni rappresentate dal grafico GE analizzato in questo lavoro, la griglia di controllo è immersa nel plasma della scarica. La corrente raccolta dalla griglia può quindi comprendere contributi di segno opposto associati a ioni ed elettroni.

Da questo punto di vista, il passaggio attraverso $I_g=0$ può essere interpretato in modo plausibile come una condizione nella quale i contributi netti di carica raccolti dalla griglia si compensano, sempre durante la conduzione anodica.

Questa interpretazione è compatibile con il significato matematico di $V_0$, ma il presente lavoro non identifica separatamente le singole componenti della corrente e quindi non permette di stabilire quale processo microscopico determini esattamente il valore di $V_0$.

Anche la normalizzazione: \[ Y=\frac{I_g}{I_a} \]

fornisce un’indicazione interessante. Il fatto che famiglie ottenute a correnti anodiche molto differenti diventino molto più simili dopo la divisione per $I_a$ suggerisce che una parte importante della corrente di griglia cresca insieme all’intensità complessiva del processo di conduzione nel tubo.

Questa osservazione è coerente con l’idea che $I_a$ possa funzionare come una misura indiretta dell’intensità del plasma o della popolazione di particelle cariche disponibile per contribuire alla corrente di griglia.

Il modello, tuttavia, dimostra soltanto l’efficacia della normalizzazione. Non permette di identificare direttamente densità del plasma, mobilità, pressione del gas o distribuzioni energetiche delle particelle.

Il ramo positivo

Per $V_g>V_0$, la master curve positiva è descritta da: \[ G_+(X_+;K) = 0.005 \frac{e^{KX_+}-1}{e^K-1}. \]

La presenza di una dipendenza esponenziale è qualitativamente compatibile con molti fenomeni nei quali la raccolta di elettroni dipende fortemente dal potenziale applicato.

È quindi possibile vedere la forma esponenziale del ramo positivo come compatibile con una crescente componente elettronica della corrente di griglia quando il potenziale della griglia diventa più favorevole alla raccolta degli elettroni.

Questo non significa però che il parametro $K$ possa essere identificato direttamente con una temperatura elettronica, un potenziale di plasma o un’altra grandezza fisica specifica.

Nel modello attuale $K$ rimane un parametro di forma empirico del dispositivo. Una relazione con quantità fisiche più fondamentali richiederebbe dati indipendenti che il datasheet non fornisce.

Il ramo negativo

Nel ramo negativo, $Q_A$ descrive l’avvicinamento della corrente normalizzata a un plateau.

Una possibile interpretazione è che, rendendo la griglia progressivamente più negativa, una delle componenti della corrente raggiunga una condizione nella quale ulteriori variazioni della tensione modificano sempre meno la quantità di carica raccolta.

Questo comportamento è compatibile con un processo di raccolta ionica limitato dalla popolazione di particelle disponibili, ma il modello non permette di dimostrare che $Q_A$ corrisponda direttamente a una specifica corrente ionica di saturazione.

Anche i tre termini esponenziali: \[ e^{\lambda_1 X_-}, \qquad e^{\lambda_2 X_-}, \qquad e^{\lambda_3 X_-} \]

li interpreto con prudenza.

Ho scelto la struttura a tre termini perché descrive in modo stabile la geometria osservata delle curve. Il test leave-one-family-out mostra inoltre che questa struttura rimane sufficientemente stabile quando una singola famiglia escludo dall’identificazione.

Non esiste però, sulla base dei soli dati utilizzati in questo lavoro, una giustificazione per associare i tre valori: \[ 0.060,\qquad0.240,\qquad0.960 \]

a tre distinti processi fisici nel tubo.

Considero quindi la progressione $1:4:16$ una scelta compatta e regolarizzata del modello, non la scoperta di tre costanti fondamentali del thyratron.

Perché i due rami non hanno la stessa derivata?

Il modello impone: \[ G_-(0)=G_+(0)=0, \]

ma non impone l’uguaglianza delle derivate.

Dal punto di vista matematico, il modello è quindi continuo nel punto $V_0$, ma può presentare un cambiamento di pendenza fra il ramo negativo e quello positivo.

Non sarebbe corretto interpretare automaticamente questo risultato come una vera discontinuità fisica nella corrente del dispositivo.

Più prudentemente, interpreto questo risultato come un’indicazione che descrivo meglio le due regioni delle caratteristiche con due forme compatte differenti. La variazione della pendenza può riflettere il passaggio fra regimi di raccolta dominati da contributi diversi, oppure semplicemente il limite di una rappresentazione macroscopica ottenuta da curve statiche di datasheet.

Un modello statico, non un modello completo del thyratron

Il modello sviluppato in questo articolo descrive esclusivamente la caratteristica statica della corrente di griglia durante la conduzione anodica, cioè la famiglia di curve utilizzata per la sua identificazione: \[ I_g=F(V_g,I_a). \]

Non descrive invece l’intero comportamento dinamico del 2D21.

In particolare, la versione attuale non include:

il processo temporale di ionizzazione;
la deionizzazione dopo l’interruzione della corrente anodica;
il comportamento di latch del thyratron dopo l’innesco;
le capacità interelettrodiche;
gli effetti dinamici della griglia schermo;
la caratteristica completa dello stato conduttivo;
la dipendenza esplicita dalla temperatura, dalla pressione del gas o dalla storia precedente del tubo.

Questi fenomeni sono fondamentali per costruire un macromodello SPICE completo del dispositivo, ma costituiscono un problema distinto rispetto alla caratteristica statica della corrente di griglia studiata qui.

Il ruolo della griglia schermo

Un’altra limitazione importante riguarda $G_2$.

Per costruire il modello ho utilizzato le curve pubblicate dal costruttore nelle condizioni specificate nel datasheet. Queste curve non costituiscono una caratterizzazione completa della dipendenza della corrente di griglia dalle tensioni applicate a tutti gli elettrodi.

Interpreto quindi il modello Level-1 nel dominio elettrico corrispondente alle condizioni delle curve originali.

Questo punto diventerà particolarmente importante quando utilizzerò il modello per simulare il ricevitore del telecomando Zenith Flash-Matic, perché nel circuito originale la griglia schermo del 2D21 non è semplicemente mantenuta a un potenziale DC fisso.

Quando simulerò il circuito completo dovrò quindi verificare quanto la caratteristica ricavata dal datasheet rimanga rappresentativa nelle condizioni effettive del ricevitore.

Il modello non pretende di essere universale

Ho identificato la versione 0.1 utilizzando un singolo tipo di thyratron, il 2D21.

Non posso quindi concludere che le stesse funzioni $G_-$ e $G_+$, gli stessi valori delle costanti esponenziali o lo stesso parametro $K$ siano validi per qualsiasi thyratron.

Una verifica realmente interessante consisterà nell’applicare la stessa procedura a dispositivi differenti, mantenendo inizialmente congelata la struttura matematica e osservando quali parametri debbano cambiare.

Se più thyratron confrontabili potessero essere descritti con le stesse funzioni normalizzate e soltanto pochi parametri specifici del dispositivo, la struttura assumerebbe un significato molto più generale.

Se invece alcune classi di dispositivi richiedessero forme differenti, anche questo risultato sarebbe utile perché permetterebbe di definire il dominio di validità del modello.

Che cosa rappresenta quindi la versione 0.1?

Considero il risultato ottenuto un modello compatto statico e data-driven della corrente di griglia del 2D21.

La sua forza non sta nel fornire una teoria microscopica completa del thyratron, ma nel ridurre una famiglia complessa di curve sperimentali a una struttura matematica relativamente semplice, con parametri geometrici chiaramente definiti e una precisione confrontabile con l’incertezza dei dati di partenza.

L’eventuale collegamento fra questi parametri e quantità fisiche più profonde rimane una questione aperta.

Per il momento preferisco mantenere separati i due livelli: prima stabilisco con precisione ciò che il modello descrive, poi verificherò se quella struttura possa essere spiegata o generalizzata attraverso un modello fisico più fondamentale.

Il modello Level-1 completo

A questo punto posso raccogliere in un’unica forma il modello ottenuto per la corrente di griglia del thyratron 2D21.

La prima trasformazione è la normalizzazione della corrente di griglia rispetto alla corrente anodica: \[ Y=\frac{I_g}{I_a}. \]

Per ogni famiglia individuo poi il valore $V_0$ per il quale: \[ I_g(V_0)=0. \]

Tratto separatamente i due lati della caratteristica utilizzando due scale di tensione: \[ X_-=\frac{V_g-V_0}{S_-}, \qquad V_g\leq V_0, \]

e \[ X_+=\frac{V_g-V_0}{S_+}, \qquad V_g\geq V_0. \]

Ramo positivo

Per $V_g\geq V_0$, la corrente normalizzata è descritta dalla master curve: \[ \boxed{ G_+(X_+;K) = 0.005\, \frac{\exp(KX_+)-1} {\exp(K)-1} } \]

con: \[ \boxed{K=0.551}. \]

Il fattore $0.005$ deriva dalla convenzione utilizzata per definire la scala $S_+$: \[ G_+(1)=+0.005. \]

La corrente di griglia positiva è quindi: \[ \boxed{ I_{g,+} = I_a\, 0.005\, \frac{ \exp\!\left[ K\frac{V_g-V_0}{S_+} \right]-1 }{ \exp(K)-1 } } \]

per $V_g\geq V_0$.

Ramo negativo

Per $V_g\leq V_0$, la funzione normalizzata assume la forma: \[ \boxed{ G_-(X_-;Q_A,U_{20}) = -Q_A+ \sum_{j=1}^{3} A_j e^{\lambda_j X_-} } \]

con le tre costanti: \[ \boxed{ (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = (0.060,\;0.240,\;0.960) }. \]

I coefficienti $A_1$, $A_2$ e $A_3$ non sono parametri liberi. Li determino imponendo: \[ G_-(0)=0, \] \[ G_-(-1)=-0.010, \]

e \[ G_-(-U_{20})=-0.020. \]

Di conseguenza: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ e^{-\lambda_1} & e^{-\lambda_2} & e^{-\lambda_3} \\ e^{-\lambda_1U_{20}} & e^{-\lambda_2U_{20}} & e^{-\lambda_3U_{20}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_1\\ A_2\\ A_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Q_A\\ Q_A-0.010\\ Q_A-0.020 \end{bmatrix}. \]

La corrente di griglia negativa è quindi: \[ \boxed{ I_{g,-} = I_a \left[ -Q_A+ \sum_{j=1}^{3} A_j \exp\!\left( \lambda_j \frac{V_g-V_0}{S_-} \right) \right] } \]

per $V_g\leq V_0$.

Forma completa

Il modello compatto statico può quindi essere scritto in forma a tratti come: \[ \boxed{ I_g(V_g,I_a)= \begin{cases} I_a\, G_-\!\left( \dfrac{V_g-V_0}{S_-}; Q_A,U_{20} \right), & V_g\leq V_0, \\[12pt] I_a\, G_+\!\left( \dfrac{V_g-V_0}{S_+}; K \right), & V_g\geq V_0. \end{cases} } \]

I due rami soddisfano: \[ G_-(0)=G_+(0)=0, \]

per cui la corrente rimane continua nel punto $V_0$. La continuità della derivata invece non la impongo.

Parametri identificati per il 2D21

La tabella seguente riassume i parametri ottenuti per le famiglie principali utilizzate nella costruzione e verifica del modello.

$I_a$	$V_0$	$S_-$	$S_+$	$Q_A$	$U_{20}$
25 mA	-0.28418 V	0.14187 V	0.03058 V	0.03136	4.995
50 mA	-0.36110 V	0.23812 V	0.04413 V	0.02802	3.746
100 mA	-0.43804 V	0.25758 V	0.06747 V	0.02819	4.984
150 mA	-0.45898 V	0.32066 V	0.05269 V	0.02884	4.072
200 mA	-0.50980 V	0.21483 V	0.05017 V	0.03254	4.592
300 mA	-0.57868 V	0.07533 V	≈0.014 V	0.04810	4.473

Il valore di $S_+$ a 300 mA richiede particolare cautela: la curva digitalizzata non raggiunge il livello $Y=+0.005$ utilizzato per definire direttamente questa scala e il valore riportato è quindi inferito dal modello.

Anche $Q_A$ della famiglia a 300 mA è meno direttamente determinato rispetto alle altre famiglie, perché la caratteristica disponibile non si estende sufficientemente nella regione negativa da mostrare completamente il plateau.

Non includo la famiglia a 5 mA nella tabella principale perché mostra un comportamento differente e la mantengo come possibile regime a bassa corrente. La stessa struttura negativa può comunque descriverla con $Q_A\approx0.044$ e $U_{20}\approx3.07$.

Cosa il modello permette di fare, e cosa non ancora

Il risultato ottenuto comprime una famiglia di caratteristiche $I_g(V_g)$ in un piccolo insieme di parametri geometrici.

Per una famiglia della quale siano noti: \[ V_0,\qquad S_-,\qquad S_+,\qquad Q_A,\qquad U_{20}, \]

è possibile ricostruire una caratteristica continua della corrente di griglia senza utilizzare direttamente la serie originale di punti digitalizzati.

Non è invece ancora dimostrato che tutti questi parametri possano essere calcolati in modo affidabile dalla sola corrente anodica $I_a$.

Un primo test effettuato sulle dipendenze dei parametri dalla corrente ha mostrato che $V_0$ presenta una regolarità promettente, mentre $S_-$ non risulta ancora prevedibile in modo robusto mediante una semplice legge continua.

Questo significa che non interpreto la versione 0.1 come una superficie continua già completa: \[ I_g=F(V_g,I_a) \]

capace di generare automaticamente una caratteristica a qualsiasi corrente anodica arbitraria.

Al momento il livello verificato è più precisamente: \[ \left( V_0,S_-,S_+,Q_A,U_{20} \right) \longrightarrow I_g(V_g). \]

La determinazione delle leggi che collegano questi parametri a $I_a$ costituisce un problema successivo e la mantengo separata dal modello Level-1.

Conclusioni

L’obiettivo iniziale di questo lavoro era molto pratico: ottenere un modello utilizzabile della corrente di griglia del 2D21 partendo dalle curve originali del datasheet GE, invece di affidarsi a un macromodello trovato in rete di cui non fosse chiara l’origine dei parametri.

Il percorso si è rivelato più ampio del previsto.

Ho digitalizzato più volte le caratteristiche originali, le ho confrontate fra acquisizioni indipendenti e le ho trasformate in curve di consenso accompagnate da una stima dell’incertezza.

L’analisi delle curve normalizzate ha poi mostrato che una parte importante della loro apparente complessità può essere separata in pochi elementi:

un punto di zero $V_0$;
due scale di tensione $S_-$ e $S_+$;
una master curve positiva caratterizzata dal parametro $K$;
una struttura negativa comune, corretta da due parametri geometrici
$Q_A$ e $U_{20}$.

Il risultato è un modello compatto statico piecewise relativamente semplice, continuo nel punto di cambio di segno della corrente di griglia e capace di descrivere le famiglie principali con errori dello stesso ordine della dispersione presente nei dati digitalizzati.

Diversi test hanno inoltre permesso di verificare che la struttura non dipenda semplicemente dall’elevato numero di punti utilizzati per rappresentare le curve. Riducendo fortemente la densità della griglia, i parametri principali rimangono sostanzialmente invariati.

Il lavoro ha però evidenziato anche limiti precisi.

La famiglia a 5 mA potrebbe rappresentare un regime differente; alcuni parametri della famiglia a 300 mA sono meno direttamente identificabili; la continuità della derivata nel punto $V_0$ non è supportata dai dati; e non è ancora possibile ricavare in modo affidabile tutti i parametri del modello dalla sola corrente anodica.

Soprattutto, questo non è ancora un modello completo del thyratron.

Non descrive ionizzazione, deionizzazione, latch, capacità interelettrodiche, dinamica temporale o l’intero comportamento dopo l’innesco. Aggiungerò questi elementi separatamente quando trasformerò il modello in un componente SPICE destinato alla simulazione circuitale.

Il risultato della versione 0.1 è quindi volutamente più limitato: un modello quantitativo e riproducibile della caratteristica statica della corrente di griglia del 2D21, derivato direttamente dalle curve del costruttore.

Il passo successivo: tornare al Flash-Matic

Questo lavoro era nato come una deviazione necessaria durante la ricostruzione del ricevitore del telecomando Zenith Flash-Matic.

Nel circuito originale il 2D21 non è utilizzato come un semplice interruttore ideale. Il suo innesco dipende dal segnale prodotto dalle fotocellule e dalle condizioni elettriche applicate alle griglie, mentre dopo l’innesco entrano in gioco la conduzione, il latch e il successivo recupero del tubo.

Il modello sviluppato in questo articolo descrive soltanto una di queste parti: la corrente della griglia di controllo durante la conduzione anodica. Non è quindi, da solo, un modello del trigger del Flash-Matic né della regione precedente all’innesco.

Il passo successivo sarà implementare questa legge statica come sottoblocco del modello SPICE e affiancarle le altre caratteristiche necessarie: comportamento prima della conduzione, dipendenza dalla seconda griglia, trigger, latch, estinzione e recovery.

A quel punto sarà possibile tornare finalmente allo schema del Flash-Matic e studiare non soltanto se il circuito funziona in simulazione, ma anche quanto fosse sensibile alla luce utile, alla luce ambientale e alle tolleranze reali dei componenti.

In altre parole, il modello del 2D21 non è il punto di arrivo del progetto: è uno degli strumenti necessari per rispondere alla domanda dalla quale tutto era partito.

Dati e materiale scaricabile

Per rendere l’analisi riproducibile, i dati e i file utilizzati per la costruzione del modello li rendo disponibili insieme all’articolo.

Aggiungerò separatamente la futura implementazione SPICE dopo aver verificato numericamente la corrispondenza fra la legge analitica e il modello simulabile. In questo modo resterà possibile distinguere chiaramente il modello matematico originale dalla sua implementazione circuitale.

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Modello compatto della corrente di griglia del thyratron 2D21 durante la conduzione anodica

Introduzione

Il modello proposto

Ramo positivo

Ramo negativo

I parametri della singola famiglia

Cosa descrive e cosa non descrive

Il datasheet e il grafico di partenza

Dalle digitalizzazioni al dataset di consenso

Le digitalizzazioni replicate

Costruzione della curva di consenso

Stima dell’incertezza

Un caso particolare: la curva a 300 mA

Riproducibilità dei dati

Dalle curve di consenso alla ricerca di una forma comune

1. La prima normalizzazione: \(Y=I_g/I_a\)

2. Allineare le curve al punto di zero: \(\Delta V = V_g – V_0\)

3. Normalizzazione del ramo negativo: \(X_-=(V_g-V_0)/S_-\)

4. Normalizzazione del ramo positivo: \(X_+=(V_g-V_0)/S_+\)

5. Cosa ho imparato dalle trasformazioni

Il modello compatto della corrente di griglia del 2D21

Il ramo positivo: una master curve

Il ramo negativo: una struttura comune con due parametri di forma

Il significato di \(Q_A\)

Il significato di \(U_{20}\)

Perché tre esponenziali?

Il modello minimo necessario

Verifica quantitativa del modello Level-1

Accuratezza del ramo negativo

Stabilità rispetto alla densità dei punti

Quanto conta la porzione di curva disponibile?

Leave-one-family-out della struttura del ramo negativo

Continuità nel punto \(V_0\)

La famiglia a 5 mA

La famiglia a 300 mA

Che cosa posso quindi considerare verificato?

Posso prevedere i parametri a una corrente non osservata?

Un test leave-one-family-out

Il comportamento di \(V_0\)

Il caso di \(S_-\)

Cosa significa per il modello

Interpretazione fisica e limiti del modello

Ciò che il modello stabilisce direttamente

Una possibile lettura fisica

Il ramo positivo

Il ramo negativo

Perché i due rami non hanno la stessa derivata?

Un modello statico, non un modello completo del thyratron

Il ruolo della griglia schermo

Il modello non pretende di essere universale

Che cosa rappresenta quindi la versione 0.1?

Il modello Level-1 completo

Ramo positivo

Ramo negativo

Forma completa

Parametri identificati per il 2D21

Cosa il modello permette di fare, e cosa non ancora

Conclusioni

Il passo successivo: tornare al Flash-Matic

Dati e materiale scaricabile

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